จงหาค่าลิมิตของ (2x² + x − 3)/|x − 1| เมื่อ x เข้าใกล้ −2

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจตัวส่วนก่อนจะลงมือทำอะไรที่ซับซ้อน ตัวส่วนที่เป็นค่าสัมบูรณ์มักส่งสัญญาณว่าต้องวิเคราะห์แบบด้านเดียว แต่เฉพาะเมื่อนิพจน์ข้างในเป็นศูนย์ได้ที่จุดลิมิตเท่านั้น ที่นี่

   $|x-1|\ \text{เป็นศูนย์เฉพาะที่}\ x=1,$

   และจุดลิมิตคือ $x=-2$ ซึ่งอยู่ห่างออกไปพอสมควร จึงไม่มีรูปแบบยังไม่กำหนดให้ต้องแก้

2. 2

   คลี่ค่าสัมบูรณ์บนย่านใกล้เคียงของ $x=-2$ สำหรับ $x$ ใกล้ $-2$ จะได้ $x-1<0$ (ที่ $x=-2$ มีค่าเท่ากับ $-3$) ดังนั้นบนย่านนั้นทั้งย่าน

   $|x-1|=-(x-1)=1-x.$

   การเขียนใหม่กำจัดค่าสัมบูรณ์ออกไปทั้งหมด และแสดงว่าฟังก์ชันเป็นอัตราส่วนของพหุนามสองตัวใกล้ ๆ $x=-2$ จึงต่อเนื่องที่นั่น

3. 3

   ยืนยันว่ารูปแบบไม่ใช่ 0/0 หาค่าตัวเศษและตัวส่วนแยกกันที่ $x=-2$

   $2(-2)^{2}+(-2)-3=8-2-3=3,\qquad |-2-1|=|-3|=3.$

   ทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์ จึงไม่ต้องแยกตัวประกอบ ไม่ต้องทำให้เป็นตรรกยะ ไม่ต้องใช้โลปีตาล — เครื่องมือเหล่านั้นมีไว้สำหรับรูปแบบยังไม่กำหนดเท่านั้น

4. 4

   ใช้การแทนค่าตรง ๆ เนื่องจากฟังก์ชันต่อเนื่องที่ $x=-2$ ลิมิตจึงเป็นค่าของฟังก์ชันนั่นเอง

   $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}=\frac{3}{3}=1.$

5. 5

   ยืนยันว่าลิมิตด้านเดียวทั้งสองตรงกัน เข้าจากทางซ้าย ($x=-2.001$): $\frac{2(4.004)+(-2.001)-3}{3.001}=\frac{3.007}{3.001}\approx 1.002$ จากทางขวา ($x=-1.999$): $\frac{2.993}{2.999}\approx 0.9980$ ทั้งคู่ลู่เข้าสู่ $1$ เมื่อขนาดก้าวเล็กลง ลิมิตสองข้างจึงมีอยู่และเท่ากับ $1$ ✓ เทียบกับ $\lim_{x\to1}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$ ที่ค่าสัมบูรณ์บังคับให้ค่าซ้ายกับขวาต่างกันจริง ๆ