จงหาลิมิตของ ln(100x¹⁰⁰ + 5x + 3) / ln(2x²⁰ + 3x² − 2) เมื่อ x เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุรูปแบบ ลอการิทึมทั้งสองลู่เข้าสู่ $+\infty$ ผลหารจึงเป็นชนิด $\tfrac{\infty}{\infty}$ กฎของโลปีตาลใช้ได้แต่จะได้ฟังก์ชันตรรกยะรกรุงรัง การใช้โครงสร้างของ $\ln$ สะอาดกว่ามาก

2. 2

   แทนพหุนามแต่ละตัวด้วยพจน์นำของมัน เมื่อ $x\to\infty$

   $100x^{100}+5x+3\sim100x^{100},\qquad2x^{20}+3x^{2}-2\sim2x^{20}$

   การแทนแบบนี้ทำได้ภายในลอการิทึม เพราะส่วนที่ละทิ้งไปให้ผล $\ln\left(1+o(1)\right)\to0$ ซึ่งเป็นพจน์บวกที่หายไป — ไม่ใช่ความคลาดเคลื่อนแบบคูณ

3. 3

   แยกลอการิทึมแต่ละตัวด้วย $\ln(ab)=\ln a+\ln b$

   $\ln\left(100x^{100}\right)=\ln100+100\ln x,\qquad\ln\left(2x^{20}\right)=\ln2+20\ln x$

   เลขชี้กำลังลงมาเป็นตัวคูณของ $\ln x$ — ตรงนี้เองที่ดีกรี $100$ กับ $20$ เข้ามาเป็นตัวชี้ขาด

4. 4

   หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย $\ln x$ เนื่องจาก $\ln x\to\infty$

   $\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\ln100}{\ln x}+100}{\frac{\ln2}{\ln x}+20}=\frac{0+100}{0+20}=5$

   สัมประสิทธิ์นำ $100$ และ $2$ หายไปหมด — ภายในลอการิทึม ตัวประกอบที่เป็นค่าคงตัวเป็นเพียงค่าคงตัวที่บวกเข้ามา ซึ่งเล็กจนละเลยได้เมื่อเทียบกับ $\ln x$

5. 5

   ระบุกฎทั่วไปแล้วตรวจสอบ สำหรับพหุนามดีกรี $p$ และ $q$ ลิมิตของอัตราส่วนลอการิทึมคือ $\tfrac{p}{q}$ ตรง ๆ — ในที่นี้คือ $\tfrac{100}{20}=5$ ✓ ในเชิงตัวเลข นิพจน์ให้ $5.0244$ ที่ $x=10$, $5.0123$ ที่ $x=100$, $5.0025$ ที่ $x=10^{10}$ และ $5.00025$ ที่ $x=10^{100}$ ✓ — ลู่เข้าสู่ $5$ อย่างช้า ๆ แต่ชัดเจน ความช้านี้เป็นลักษณะเฉพาะของลิมิตแบบลอการิทึม