จงหาลิมิตของ ln(n)/n² เมื่อ n เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุรูปแบบยังไม่กำหนด เมื่อ $n\to\infty$ ทั้ง $\ln n\to\infty$ และ $n^{2}\to\infty$ ผลหารจึงเป็นชนิด $\infty/\infty$ รูปแบบนี้ไม่มีค่าตายตัว — คำตอบขึ้นกับว่าส่วนไหนโตเร็วกว่า จึงต้องใช้เครื่องมือเปรียบเทียบแทนการแทนค่าตรง ๆ

2. 2

   ใช้กฎของโลปีตาลหนึ่งครั้ง มอง $n$ เป็นตัวแปรต่อเนื่อง แล้วหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน

   $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n^{2}}=0$

   ใช้ครั้งเดียวก็พอ เพราะการหาอนุพันธ์ของ $\ln n$ ทำลายลอการิทึมทิ้งไปทั้งหมด ขณะที่ตัวส่วนยังคงเป็นฟังก์ชันกำลัง

3. 3

   ตรวจความสมเหตุสมผลของลำดับการเติบโต ผลลัพธ์นี้เป็นกรณีหนึ่งของข้อเท็จจริงทั่วไป $\ln n$ โตช้ากว่า $n^{p}$ สำหรับ ทุก $p>0$ ดังนั้น $\ln n/n^{p}\to0$ เสมอ ในเชิงตัวเลข $\ln(10^{6})/(10^{6})^{2}\approx1.4\times10^{-11}$ — แทบเป็นศูนย์แล้ว ✓

4. 4

   หาตำแหน่งค่าสูงสุด เพื่อไม่ให้เข้าใจผิดว่าลดลงทางเดียวตลอด ให้ $f(n)=\ln n\cdot n^{-2}$ กฎผลคูณให้

   $f'(n)=\frac{1}{n}\cdot n^{-2}+\ln n\cdot(-2)n^{-3}=\frac{1-2\ln n}{n^{3}}$

   ซึ่งเป็นศูนย์ที่ $\ln n=\tfrac12$ นั่นคือ $n=\sqrt{e}\approx1.6487$ ดังนั้น $f$ เพิ่มขึ้นจนถึง $n\approx1.65$ แล้วจึงค่อยลดลงสู่ $0$ อนุพันธ์เชิงตัวเลขตรงกับสูตรนี้ที่ $n=2,5,9$ ถึงระดับ $10^{-6}$ ✓

5. 5

   สังเกตว่าลิมิตนี้บอกอะไร — และไม่บอกอะไร — เกี่ยวกับอนุกรม การที่พจน์ลู่เข้าสู่ $0$ เป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าของอนุกรม ในที่นี้อนุกรมลู่เข้าจริง โดยการเปรียบเทียบ สำหรับ $n$ ที่ใหญ่พอ $\ln n<n^{1/2}$ ดังนั้น $\dfrac{\ln n}{n^{2}}<\dfrac{1}{n^{3/2}}$ และ $\sum n^{-3/2}$ เป็นอนุกรม $p$ ที่ลู่เข้าโดยมี $p=3/2>1$

   ค่าของผลรวมคือ $-\zeta'(2)\approx0.93755$ การบวกสองล้านพจน์แรกให้ $0.9375405$ ✓