จงหาลิมิตของ ln(eˣ + x) / (x² + 1) เมื่อ x เข้าสู่บวกอนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   อย่าแยกลอการิทึมของผลบวก $\ln(e^x+x)$ ไม่ใช่ $\ln e^x+\ln x$ วิธีที่ถูกต้องคือดึงพจน์ที่มีอิทธิพลสูงสุดออกมาภายในลอการิทึม แล้วจึงใช้ $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ กับผลคูณที่ได้

2. 2

   ดึงพจน์ที่มีอิทธิพลสูงสุด $e^{x}$ ออกภายในลอการิทึม เมื่อ $x$ มีค่ามาก $e^x$ ใหญ่กว่า $x$ อย่างเทียบไม่ติด ดังนั้น

   $e^{x}+x=e^{x}\left(1+xe^{-x}\right)$

   และจึงได้

   $\ln\left(e^{x}+x\right)=\ln\left(e^{x}\right)+\ln\left(1+xe^{-x}\right)=x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)$

3. 3

   แสดงว่าพจน์แก้ไขละเลยได้ เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังชนะพหุนาม จึงได้ $xe^{-x}\to 0$ ดังนั้น

   $\ln\left(1+xe^{-x}\right)\to\ln 1=0$

   ตัวเศษจึงเป็น $x$ บวกกับสิ่งที่หายไป มันโตในอัตราเท่ากับ $x$ พอดี ไม่เร็วกว่านั้น

4. 4

   เทียบอัตราการเติบโตทั้งสอง ผลหารกลายเป็น

   $\frac{x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)}{x^{2}+1}\sim\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}$

   ตัวเศษดีกรี 1 หารด้วยตัวส่วนดีกรี 2 ย่อมลู่เข้าสู่ศูนย์เสมอ

5. 5

   ระบุลิมิตแล้วยืนยันด้วยตัวเลข

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(e^{x}+x\right)}{x^{2}+1}=0$

   ที่ $x=100$ ค่าเป็น $0.009999$ และที่ $x=500$ เป็น $0.002000$ — ลดลงครึ่งหนึ่งเมื่อ $x$ เพิ่มเป็นสองเท่า ตรงตามการลดลงแบบ $1/x$ ที่ทำนายไว้