จงหาลิมิตของ 1 ส่วน x กำลังสอง เมื่อ x เข้าสู่ลบอนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่าเลขชี้กำลังคู่ลบเครื่องหมายทิ้ง สำหรับทุก $x\neq 0$ จะได้ $x^2>0$ ดังนั้นไม่ว่า $x$ จะวิ่งไป $+\infty$ หรือ $-\infty$ ก็ไม่ต่างกัน ตัวส่วนเป็นบวกทั้งสองทาง นี่คือเหตุผลที่ลิมิตนี้กับลิมิตที่ $+\infty$ ต้องออกมาเท่ากัน

2. 2

   เห็นว่าตัวส่วนโตอย่างไม่มีขอบเขต เนื่องจาก $x^2=|x|^2$ และ $|x|\to\infty$ เมื่อ $x\to-\infty$

   $x^2\to+\infty$

3. 3

   ใช้กฎค่าคงที่หารด้วยค่าที่โตไม่จำกัด ตัวเศษคงอยู่ที่ $1$ ขณะที่ตัวส่วนโตเกินทุกขอบเขต ผลหารจึงถูกบีบเข้าหาศูนย์

   $\frac{1}{x^2}\to 0$

   พูดให้แม่นยำขึ้น สำหรับ $\varepsilon>0$ ใด ๆ จะได้ $1/x^2<\varepsilon$ ทันทีที่ $|x|>1/\sqrt{\varepsilon}$ ซึ่งเป็นข้อความรูปนัยของลิมิตนี้

4. 4

   ตรวจด้วยตัวเลข ที่ $x=-10$: $1/100=0.01$ ที่ $x=-100$: $1/10000=0.0001$ ที่ $x=-1000$: $10^{-6}$ ค่าหดเข้าหา $0$ และเป็นบวกตลอด

5. 5

   บันทึกคำตอบและทิศทางการลู่เข้า ลิมิตเท่ากับ $0$ โดยลู่เข้าจากด้านบน — ฟังก์ชันไม่เคยเป็นลบ กราฟจึงแนบเข้าหาแกน $x$ จากทางบน ข้อโต้แย้งเดียวกันนี้ให้ $\lim_{x\to\pm\infty}x^{-n}=0$ สำหรับทุก $n>0$