จงหาลิมิตของ (2x − 3)/(x² + 3x) เมื่อ x เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุดีกรีก่อนลงมือคำนวณ ตัวเศษมีดีกรี $1$ ตัวส่วนมีดีกรี $2$ สำหรับฟังก์ชันตรรกยะ เมื่อดีกรีตัวเศษต่ำกว่า ลิมิตที่อนันต์เป็น $0$ ถ้าดีกรีเท่ากันจะได้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ และถ้าดีกรีตัวเศษสูงกว่าจะได้ $\pm\infty$ โจทย์ข้อนี้เป็นกรณีแรก และงานข้างล่างเป็นเพียงการแสดงให้เห็นเท่านั้น

2. 2

   หารตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของตัวส่วน คือ $x^{2}$

   $\frac{2x-3}{x^{2}+3x}=\frac{\frac{2x}{x^{2}}-\frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}}=\frac{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}}}{1+\frac{3}{x}}$

   การหารด้วย $x^2$ (ไม่ใช่ด้วย $x$) คือสิ่งที่รับประกันว่าตัวส่วนจะเข้าที่ที่ค่าคงตัวซึ่งไม่เป็นศูนย์

3. 3

   ส่งกำลังส่วนกลับแต่ละตัวไปที่ศูนย์ เมื่อ $x\to\infty$

   $\frac{2}{x}\to 0,\qquad\frac{3}{x^{2}}\to 0,\qquad\frac{3}{x}\to 0$

4. 4

   ประกอบลิมิตเข้าด้วยกัน

   $\frac{0-0}{1+0}=\frac{0}{1}=0$

   การที่ตัวส่วนลู่เข้าสู่ $1$ แทนที่จะเป็น $0$ คือสิ่งที่ทำให้นี่เป็นการหาค่าที่ชอบธรรม ไม่ใช่รูปแบบยังไม่กำหนดอีกอัน

5. 5

   ตีความผลลัพธ์ในเชิงกราฟ ลิมิตนี้บอกว่าเส้นโค้ง $y=\dfrac{2x-3}{x^{2}+3x}$ มีเส้นกำกับแนวนอน $y=0$ ในเชิงตัวเลข ค่าเป็น $0.00199$ ที่ $x=1000$ และ $0.0000020$ ที่ $x=10^{6}$ ซึ่งลดลงในอัตรา $2/x$ ✓