จงหาค่าปริพันธ์ซ้อน โดยอินทิเกรตตาม x จาก 0 ถึง 1 และปริพันธ์ชั้นในคือ y dy ตั้งแต่ y = x ขึ้นไปถึง y = √(1 − x²) + 1

Step-by-step solution

1. 1

   ทำปริพันธ์ชั้นใน โดยถือว่า $x$ เป็นค่าคงตัว ตัวถูกอินทิเกรตเป็นเพียง $y$ ดังนั้น

   $\int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}y\,dy=\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}+1}=\frac12\Bigl(\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}-x^{2}\Bigr).$

   ก่อนกระจาย สังเกตว่าขอบเขตสอดคล้องกันบน $[0,1]$ ขอบบน $\sqrt{1-x^{2}}+1$ มีค่าอย่างน้อย $1$ ขณะที่ขอบล่าง $x$ มีค่ามากที่สุด $1$ บริเวณนี้จึงไม่ยุบแบน

2. 2

   กระจายกำลังสอง ตรงนี้เองที่ $\sqrt{\;}$ ยังเหลืออยู่

   $\bigl(\sqrt{1-x^{2}}+1\bigr)^{2}=(1-x^{2})+2\sqrt{1-x^{2}}+1=2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}.$

   พจน์ไขว้ $2\sqrt{1-x^{2}}$ เป็นก้อนเดียวที่ไม่ใช่พหุนาม ส่วนที่เหลือเป็นพื้นฐานทั้งหมด

3. 3

   จัดรูปผลของชั้นใน

   $\frac12\Bigl(2-x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}-x^{2}\Bigr)=\frac12\Bigl(2-2x^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}\Bigr)=1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}.$

   ปริพันธ์สองชั้นจึงกลายเป็นปริพันธ์ชั้นเดียว $\displaystyle\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}\bigr)dx$

4. 4

   แยกแล้วหาค่าทีละก้อน สองก้อนแรกได้ทันที

   $\int_{0}^{1}1\,dx=1,\qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac13.$

   ส่วนก้อนที่สาม $y=\sqrt{1-x^{2}}$ บน $[0,1]$ ลากเป็นหนึ่งในสี่ของวงกลมหนึ่งหน่วยในจตุภาคที่หนึ่ง ปริพันธ์ของมันจึงเป็นพื้นที่หนึ่งในสี่ของแผ่นจานคือ $\pi/4$ ไม่ต้องแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติเลย

5. 5

   รวมกันแล้วตรวจ

   $1-\frac13+\frac{\pi}{4}=\frac23+\frac{\pi}{4}.$

   เชิงตัวเลข $2/3+\pi/4=1.4520648301$ และการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขแบบปรับตัวของ $1-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}$ บน $[0,1]$ คืนค่า $1.4520648301$ ตรงกันถึงทศนิยมสิบตำแหน่ง