จงหาค่าปริพันธ์ซ้อนของ (y − x) dx ตั้งแต่ x = √(1 − y²) + 1 ถึง x = y แล้วอินทิเกรตต่อด้วย dy ตั้งแต่ y = 0 ถึง 1

Step-by-step solution

1. 1

   ทำปริพันธ์ชั้นในตามตัวแปร $x$ โดยตรึง $y$ ไว้ ปฏิยานุพันธ์ของ $y-x$ เทียบกับ $x$ คือ

   $yx-\frac{x^2}{2}$

   สังเกตว่าขอบล่าง $\sqrt{1-y^2}+1$ มีค่าอย่างน้อย $1$ บน $[0,1]$ ขณะที่ขอบบน $y$ มีค่ามากที่สุด $1$ ขอบเขตจึงเรียงกลับกัน ซึ่งไม่เป็นไร ทฤษฎีบทหลักมูลยังใช้ได้และเพียงแค่ให้เครื่องหมายออกมา เราเก็บเครื่องหมายนั้นไว้แทนที่จะสลับขอบเขต

2. 2

   หาค่าที่จุดปลายทั้งสอง ที่ $x=y$ ได้ $y^2-\tfrac{y^2}{2}=\tfrac{y^2}{2}$ ที่ $x=\sqrt{1-y^2}+1$ ให้กระจายกำลังสอง

   $\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)^2=(1-y^2)+2\sqrt{1-y^2}+1=2-y^2+2\sqrt{1-y^2}$

   ค่าที่ปลายล่างจึงเป็น $y\sqrt{1-y^2}+y-1+\tfrac{y^2}{2}-\sqrt{1-y^2}$

3. 3

   ลบกันแล้วดูพจน์ $y^2/2$ ตัดกัน ปริพันธ์ชั้นในยุบเหลือ

   $1-y+\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-y^2}$

   การตัดกันนี้คือแก่นของโจทย์ นิพจน์ที่ดูรกไปด้วยกรณฑ์กลายเป็นสี่ก้อนพื้นฐาน

4. 4

   อินทิเกรตแต่ละก้อนบน $y\in[0,1]$

   $\int_0^1(1-y)\,dy=\frac12$

   $\int_0^1\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac{\pi}{4}\quad\text{(พื้นที่หนึ่งในสี่ของแผ่นจานหนึ่งหน่วย)}$

   $\int_0^1 y\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac13\quad\text{(แทน }u=1-y^2\text{)}$

5. 5

   รวมกันแล้วตรวจเชิงตัวเลข

   $\frac12+\frac{\pi}{4}-\frac13=\frac{\pi}{4}+\frac16$

   เชิงตัวเลข $\pi/4+1/6=0.9520648300641$ การคำนวณปริพันธ์ชั้นในบนกริดของ $y$ จำนวน 2,000,000 จุดแล้วเฉลี่ยให้ $0.9520648300642$ ตรงกันถึงทศนิยมสิบสองตำแหน่ง ✓