จงหาค่าปริพันธ์ของ 2 dy หารด้วย −2y

Step-by-step solution

1. 1

   ตัดค่าคงตัวที่เป็นตัวเลขออกก่อน ตัว $2$ ข้างบนกับ $-2$ ข้างล่างลดรูปเหลือ $-1$

   $\int \frac{2}{-2y}\,dy = \int \left(-\frac{1}{y}\right)dy$

   การทำขั้นนี้ก่อนอินทิเกรตช่วยไม่ให้ต้องแบกตัวประกอบไปตลอดปฏิยานุพันธ์

2. 2

   ดึงค่าคงตัวออกมา ค่าคงตัวผ่านปริพันธ์ออกมาได้

   $\int \left(-\frac{1}{y}\right)dy = -\int \frac{1}{y}\,dy$

3. 3

   ใช้กฎของส่วนกลับ

   $\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C$

   ค่าสัมบูรณ์มีความสำคัญ เพราะ $\tfrac1y$ นิยามสำหรับ $y$ ที่เป็นลบด้วย และตรงนั้น $\tfrac{d}{dy}\ln(-y) = \tfrac{-1}{-y} = \tfrac1y$ การเขียน $\ln y$ เฉย ๆ จะจำกัดคำตอบไว้ที่ $y > 0$ อีกทั้งกฎกำลัง $\int y^n dy = \tfrac{y^{n+1}}{n+1}$ ก็ใช้ไม่ได้ตรงนี้ เพราะ $n = -1$ จะทำให้หารด้วยศูนย์

4. 4

   ประกอบเป็นคำตอบ

   $\int \frac{2\,dy}{-2y} = -\ln|y| + C$

5. 5

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ และสังเกตรูปที่สมมูลกัน $\tfrac{d}{dy}\left(-\ln|y|\right) = -\tfrac1y$ ตรงกับตัวถูกอินทิเกรต ผลลัพธ์ยังเขียนได้เป็น $\ln\left|\tfrac{1}{y}\right| + C$ เพราะ $-\ln|y| = \ln|y|^{-1}$ ปริพันธ์นี้คือข้างซ้ายที่ปรากฏพอดีเมื่อแยกตัวแปรของสมการการสลายตัว $\tfrac{dy}{dx} = -2y$