จงพิจารณาว่าปริพันธ์จากลบอนันต์ถึง 0 ของ 1/(3 คูณรากที่สองของ (x − 8)²) dx ลู่เข้าหรือไม่ ถ้าลู่เข้าจงหาค่า

Step-by-step solution

1. 1

   เปลี่ยนรากที่สองให้เป็นค่าสัมบูรณ์ สำหรับ $x$ ที่เป็นจำนวนจริงทุกค่า $\sqrt{(x-8)^2}=|x-8|$ ไม่ใช่ $x-8$ ความต่างตรงนี้คือหัวใจของโจทย์ข้อนี้ เพราะช่วงการอินทิเกรตอยู่ทางซ้ายของ $8$ ไปไกลมาก

2. 2

   ถอดค่าสัมบูรณ์ออกบนช่วงที่ใช้จริง บน $(-\infty,0]$ มี $x\le 0<8$ ดังนั้น $x-8<0$ และ $|x-8|=8-x$ ปริพันธ์จึงกลายเป็น $\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}.$

3. 3

   เขียนในรูปลิมิต ปลายล่างเป็นอนันต์ ตามนิยามจึงได้ $\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}.$ ตัวถูกอินทิเกรตเองต่อเนื่องและเป็นบวกตลอดช่วง ปัญหาเดียวมาจากช่วงที่ไม่มีขอบเขต

4. 4

   หาปฏิยานุพันธ์ แทน $u=8-x$, $du=-dx$ จะได้ $\int\frac{dx}{3(8-x)}=-\frac13\int\frac{du}{u}=-\frac13\ln|8-x|+C.$

5. 5

   หาค่าลิมิต $\lim_{a\to-\infty}\left[-\frac13\ln(8-x)\right]_{a}^{0}=\lim_{a\to-\infty}\left(-\frac13\ln 8+\frac13\ln(8-a)\right).$ เมื่อ $a\to-\infty$ จะได้ $8-a\to+\infty$ และ $\ln(8-a)\to+\infty$ นิพจน์จึงโตขึ้นไม่มีขอบเขต

6. 6

   สรุป ปริพันธ์นี้ลู่ออกไปยัง $+\infty$ นี่คือหางแบบ $1/x$ ตามปกติ ตัวถูกอินทิเกรตลดลงแบบ $\frac{1}{3|x|}$ และ $\int^{\infty}\frac{dx}{x}$ คือกรณีก้ำกึ่งที่ลู่เข้าไม่ได้