จงหาค่าปริพันธ์ตั้งแต่ 0 ถึง π ของ x คูณ (sin 2x − sin x) dx

Step-by-step solution

1. 1

   แยกด้วยสมบัติเชิงเส้น แต่ละก้อนเป็นพหุนามคูณกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นรูปมาตรฐานของการอินทิเกรตทีละส่วน

   $\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx-\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$

   ทั้งสองก้อนให้เลือก $u=x$ (ซึ่งหาอนุพันธ์แล้วเหลือ $1$) และให้ $dv$ เป็นส่วนที่เป็นไซน์

2. 2

   ปริพันธ์ก้อนแรก $\displaystyle\int x\sin2x\,dx$ เมื่อ $u=x$, $dv=\sin2x\,dx$ จะได้ $du=dx$ และ $v=-\tfrac12\cos2x$

   $\int x\sin2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos2x+\frac12\int\cos2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos2x+\frac14\sin2x$

   ตัวประกอบ $\tfrac12$ ที่โผล่มาจากข้างในเกิดจากกฎลูกโซ่ที่กระทำกับ $2x$ และเป็นสิ่งที่หล่นหายง่ายที่สุดตรงนี้

3. 3

   หาค่าปริพันธ์ก้อนแรกบน $[0,\pi]$ ที่ $x=\pi$ มี $\cos2\pi=1$ และ $\sin2\pi=0$ ได้ $-\tfrac{\pi}{2}$ ที่ $x=0$ ทั้งสองพจน์เป็นศูนย์ ดังนั้น

   $\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx=-\frac{\pi}{2}$

   การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขด้วยกฎซิมป์สันคืนค่า $-1.5707963$ ✓ ตรงกับ $-\tfrac\pi2$

4. 4

   ปริพันธ์ก้อนที่สอง $\displaystyle\int x\sin x\,dx$ เมื่อ $u=x$, $dv=\sin x\,dx$ จะได้ $v=-\cos x$

   $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x$

   ที่ $x=\pi$ ได้ $-\pi(-1)+0=\pi$ ที่ $x=0$ ได้ $0$ ดังนั้น $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\pi$ ยืนยันเชิงตัวเลขเป็น $3.1415927$ ✓

5. 5

   ลบกันเพื่อจบ

   $-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx-4.712389$

   การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขด้วยกฎซิมป์สันจากตัวถูกอินทิเกรตเดิมโดยตรงให้ $-4.71238898$ ✓ ตรงกันถึงทศนิยมแปดตำแหน่ง

6. 6

   ตรวจเครื่องหมายให้สมเหตุสมผล บน $(0,\pi)$ พจน์ $-x\sin x$ เป็นลบตลอด ขณะที่ $x\sin2x$ ให้โหนกบวกบน $\left(0,\tfrac\pi2\right)$ และโหนกลบที่ใหญ่กว่าบน $\left(\tfrac\pi2,\pi\right)$ ที่ใหญ่กว่าเพราะน้ำหนัก $x$ มีค่ามากกว่าในช่วงนั้น ทั้งสองส่วนจึงดึงผลรวมไปทางลบ สอดคล้องกับ $-\tfrac{3\pi}{2}$