จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ x² · sin(x) เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   เลือก $u$ ให้การหาอนุพันธ์ลดทอนพหุนามลง ใน $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ เป้าหมายคือให้ปริพันธ์ที่เหลือง่ายลง การเลือก $u=x^{2}$ ทำให้ $du=2x\,dx$ ลดดีกรีจาก $2$ เหลือ $1$ ส่วนการเลือก $u=\sin x$ จะยกดีกรีของพหุนามขึ้นและทำให้แย่ลง นี่คือแนวทาง LIATE ที่ใช้งานจริง คือให้หาอนุพันธ์ของตัวประกอบที่เป็นพีชคณิต

2. 2

   ใช้สูตรรอบแรก เมื่อ $u=x^{2}$, $dv=\sin x\,dx$ (จึงได้ $v=-\cos x$)

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x-\int\left(-\cos x\right)(2x)\,dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx.$

   เครื่องหมายลบสองตัว ตัวหนึ่งจาก $v=-\cos x$ และอีกตัวจากสูตร รวมกันเป็นบวก ซึ่งเป็นจุดที่ความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายมักเล็ดลอดเข้ามา

3. 3

   ใช้สูตรรอบที่สองกับปริพันธ์ที่เหลือ สำหรับ $\int x\cos x\,dx$ ให้ $u=x$, $dv=\cos x\,dx$ ดังนั้น $du=dx$, $v=\sin x$

   $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$

   ดีกรีของพหุนามเหลือ $0$ แล้ว กระบวนการจึงสิ้นสุด พหุนามดีกรี $n$ ต้องใช้การทำทีละส่วน $n$ รอบพอดี

4. 4

   รวมชิ้นส่วนเข้าด้วยกัน คูณผลของรอบที่สองด้วยตัวประกอบ $2$ แล้วแทนกลับ

   $\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x,$

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$

5. 5

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ ใช้กฎผลคูณกับแต่ละพจน์

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{2}\cos x\right)=-2x\cos x+x^{2}\sin x,\quad \frac{d}{dx}\left(2x\sin x\right)=2\sin x+2x\cos x,\quad \frac{d}{dx}\left(2\cos x\right)=-2\sin x.$

   บวกกัน คู่ $\mp2x\cos x$ ตัดกัน คู่ $\pm2\sin x$ ตัดกัน เหลือ $x^{2}\sin x$ พอดี ✓ ตรวจเชิงตัวเลขที่ $x=1.3$ ได้ $1.6284133$ ทั้งสองทาง ✓