จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ x² · e^(−x²) เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   แยก $x^{2}$ ให้ $x$ หนึ่งตัวไปอยู่กับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ตัวประกอบ $xe^{-x^{2}}$ มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน (เพราะอนุพันธ์ข้างในคือ $-2x$) ขณะที่ $e^{-x^{2}}$ เดี่ยว ๆ ไม่มี จึงตั้ง

   $u=x,\qquad dv=xe^{-x^{2}}\,dx.$

   ถ้าแยกอีกทางโดยให้ $dv=e^{-x^{2}}dx$ จะตันทันที การจับคู่จึงเป็นกลเม็ดทั้งหมดของข้อนี้

2. 2

   หา $v$ ด้วยการแทนค่า ให้ $t=-x^{2}$, $dt=-2x\,dx$

   $v=\int xe^{-x^{2}}dx=-\frac12\int e^{t}\,dt=-\frac12 e^{-x^{2}}.$

   และ $du=dx$ ค่า $-\tfrac12$ มาจาก $\frac{1}{-2}$ ในการแทนค่า และต้องพกติดไปตลอด

3. 3

   ใช้การอินทิเกรตทีละส่วน จาก $\int u\,dv=uv-\int v\,du$

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=x\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)-\int\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac12\int e^{-x^{2}}dx.$

   ปริพันธ์ที่เหลือคือเกาส์เซียน ซึ่งง่ายกว่าที่เริ่มต้นมา เป็นสัญญาณว่าจับคู่ได้ถูกต้อง

4. 4

   เขียนก้อนเกาส์เซียนด้วยฟังก์ชันความคลาดเคลื่อน $\int e^{-x^{2}}dx$ ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน ฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนถูกนิยามขึ้นมาเพื่อเรียกชื่อสิ่งนี้พอดี

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\;\Longrightarrow\;\int e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C.$

5. 5

   ประกอบแล้วตรวจ แทนกลับเข้าไป

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac{\sqrt{\pi}}{4}\operatorname{erf}(x)+C.$

   หาอนุพันธ์ $-\tfrac12 e^{-x^{2}}+x^{2}e^{-x^{2}}+\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}\cdot\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}=x^{2}e^{-x^{2}}$ ✓ พจน์ครึ่งสองตัวตัดกันพอดี ตรวจเชิงตัวเลขที่ $x=0.9$ ได้ $0.3603350$ ทั้งสองทาง ✓ ของแถมคือ เนื่องจาก $\operatorname{erf}(\infty)=1$ และพจน์แรกหายไป จึงได้ $\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}$