จงหาค่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ −8·cos(0.8·t²) เทียบกับ t

Step-by-step solution

1. 1

   ตระหนักก่อนว่าไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน ตามทฤษฎีบทของลียูวิลล์ $\cos(at^{2})$ ไม่มีปฏิยานุพันธ์ที่เขียนด้วยฟังก์ชันมูลฐานได้ เป็นอุปสรรคแบบเดียวกับที่ทำให้ $\int e^{-t^{2}}dt$ ไม่เป็นแบบมูลฐาน เป้าหมายจึงไม่ใช่การ "หา" สูตรด้วยการแทนค่า แต่คือการเขียนคำตอบผ่านฟังก์ชันพิเศษมาตรฐานที่สร้างขึ้นมาเพื่อการนี้

2. 2

   ทบทวนนิยามของปริพันธ์โคไซน์เฟรแนล การทำให้เป็นบรรทัดฐานแบบมาตรฐานคือ

   $C(x)=\int_{0}^{x}\cos\!\left(\frac{\pi u^{2}}{2}\right)du,$

   โดยมี $C(0)=0$ ปริพันธ์ทุกตัวในรูป $\int\cos(at^{2})\,dt$ ปรับสเกลให้เข้ารูปนี้ได้ งานที่เหลือมีเพียงการหาการเปลี่ยนตัวแปรที่ถูกต้อง

3. 3

   ปรับสเกลของอาร์กิวเมนต์ เขียน $0.8=\tfrac45$ แล้วมองหา $u=\lambda t$ ที่ทำให้ $\frac{\pi u^{2}}{2}=\frac45 t^{2}$ ซึ่งบังคับให้

   $\frac{\pi\lambda^{2}}{2}=\frac{4}{5}\;\Longrightarrow\;\lambda=\sqrt{\frac{8}{5\pi}},$

   และเนื่องจาก $dt=\frac{du}{\lambda}$ โดยทั่วไปจึงได้

   $\int\cos(at^{2})\,dt=\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\;C\!\left(\sqrt{\frac{2a}{\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

4. 4

   แทน $a=\tfrac45$ แล้วจัดรูปค่าคงตัว ตัวประกอบนำหน้าคือ

   $\sqrt{\frac{\pi}{2\cdot\frac45}}=\sqrt{\frac{5\pi}{8}},$

   คูณกับ $-8$ ที่อยู่หน้าตัวถูกอินทิเกรตได้

   $-8\sqrt{\frac{5\pi}{8}}=-\frac{8}{2\sqrt2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{10\pi}.$

   การจัดรูป $8/\sqrt8=\sqrt8=2\sqrt2$ คือพีชคณิตจุดเดียวที่พลาดได้ในข้อนี้

5. 5

   เขียนคำตอบแล้วตรวจอนุพันธ์ให้สมเหตุสมผล ผลลัพธ์คือ

   $\int-8\cos(0.8t^{2})\,dt=-2\sqrt{10\pi}\;C\!\left(\sqrt{\frac{8}{5\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

   หาอนุพันธ์ $\frac{d}{dt}C(\lambda t)=\lambda\cos\!\left(\frac{\pi\lambda^{2}t^{2}}{2}\right)=\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}\cos(0.8t^{2})$ และ $-2\sqrt{10\pi}\cdot\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}=-2\sqrt{16}=-8$ ✓ ถ้าลูกน้ำใน "0,8" ตั้งใจให้เป็นตัวคั่นหลักพัน ตัวถูกอินทิเกรตจะกลายเป็น $\cos(8t^{2})$ แทน ซึ่งให้ $-2\sqrt{\pi}\,C\!\left(\tfrac{4t}{\sqrt{\pi}}\right)$