จงหาปริพันธ์ของ x³ sin(7x⁴ + 3) dx

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกการแทนค่าแทนการอินทิเกรตทีละส่วน เห็นผลคูณแล้วมักจะนึกถึงการทำทีละส่วนโดยอัตโนมัติ แต่ในที่นี้ตัวประกอบข้างนอก $x^{3}$ คืออนุพันธ์ของสิ่งที่อยู่ข้างในไซน์พอดี (ต่างกันแค่ค่าคงตัว) นั่นคือลายเซ็นของการแทนค่า $u$ ส่วนการทำทีละส่วนจะทำให้ปริพันธ์แย่ลงเท่านั้น

2. 2

   ตั้งการแทนค่า ให้

   $u=7x^{4}+3\qquad\Longrightarrow\qquad du=28x^{3}\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad x^{3}\,dx=\frac{du}{28}$

   ค่าคงตัว $\tfrac1{28}$ คือสิ่งที่ดูดซับความไม่พอดีระหว่าง $x^{3}$ กับ $28x^{3}$

3. 3

   เขียนปริพันธ์ใหม่ให้อยู่ในตัวแปร $u$ ทั้งหมด

   $\int x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)dx=\frac{1}{28}\int\sin u\,du$

   ไม่มี $x$ เหลืออยู่เลย ซึ่งเป็นการยืนยันว่าเลือกการแทนค่าได้ถูกต้อง

4. 4

   อินทิเกรตแล้วแทนกลับ เนื่องจาก $\displaystyle\int\sin u\,du=-\cos u$

   $\frac{1}{28}\left(-\cos u\right)+C=-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}+C$

   เครื่องหมายลบมาจากปฏิยานุพันธ์ของไซน์ และเป็นสิ่งที่หล่นหายง่ายที่สุดตรงนี้

5. 5

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ย้อนกลับ โดยกฎลูกโซ่

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}\right]=\frac{\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\cdot28x^{3}}{28}=x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\ \checkmark$

   อนุพันธ์เชิงตัวเลขยืนยันผลนี้ที่ $x=0.4$, $0.9$ และ $1.3$ ภายใน $10^{-5}$ ✓ ตัว $28$ ตัดกันพอดี ซึ่งเป็นเหตุผลทั้งหมดที่เลือกค่าคงตัวนี้