จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ cos(2x) เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   เดารูปร่างก่อน แล้วค่อยแก้ค่าคงตัว ปฏิยานุพันธ์ของ $\cos$ คือ $\sin$ คำตอบจึงต้องมีหน้าตาแบบ $A\sin2x$ ลองหาอนุพันธ์ของสิ่งที่เดาไว้ $\dfrac{d}{dx}\left(A\sin2x\right)=2A\cos2x$ เพื่อให้ตรงกับ $\cos2x$ ต้องมี $2A=1$ นั่นคือ $A=\tfrac12$ ค่า $\tfrac12$ ไม่ใช่ของประดับ มันมีไว้หักล้าง $2$ ที่กฎลูกโซ่จะสร้างขึ้น

2. 2

   ทำให้ถูกต้องตามขั้นตอนด้วยการแทนค่า ให้ $u=2x$ จะได้ $du=2\,dx$ และ $dx=\tfrac12\,du$

   $\int\cos2x\,dx=\int\cos u\cdot\frac12\,du=\frac12\int\cos u\,du=\frac12\sin u+C$

3. 3

   แทนกลับ

   $\int\cos2x\,dx=\frac12\sin2x+C$

4. 4

   เขียนกฎทั่วไป สำหรับค่าคงตัว $a$ ที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ

   $\int\cos ax\,dx=\frac{1}{a}\sin ax+C$

   ตัวประกอบที่อยู่ข้างหน้าคือส่วนกลับของสัมประสิทธิ์ข้างในเสมอ แบบรูปเดียวกันนี้ให้ $\int\sin ax\,dx=-\tfrac1a\cos ax+C$

5. 5

   สังเกตความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด การเขียน $\sin2x+C$ (ไม่มี $\tfrac12$) หรือ $2\sin2x+C$ (กลับส่วนกลับผิดด้าน) คือความผิดพลาดสองแบบที่พบบ่อย การหาอนุพันธ์ของคำตอบเป็นการตรวจที่ใช้เวลาห้าวินาทีและจับได้ทั้งสองแบบ

6. 6

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ $\dfrac{d}{dx}\left(\tfrac12\sin2x\right)=\tfrac12\cdot2\cos2x=\cos2x$ ✓ เชิงตัวเลข ผลหารผลต่างสมมาตรของ $\tfrac12\sin2x$ ที่ $x=0.3,\ 1.4,\ -0.9$ ตรงกับ $\cos2x$ ถึงทศนิยมห้าตำแหน่ง ✓