จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ 1 หารด้วยผลคูณของ (x + 1) กับ (ln x) ยกกำลัง a

Step-by-step solution

1. 1

   แทน u = ln x เพื่อดึงสองก้อนที่ยุ่งยากมาอยู่บนฐานเดียวกัน เมื่อ $x = e^{u}$ และ $dx = e^{u}\,du$

   $\int \frac{dx}{(x+1)(\ln x)^{a}} = \int \frac{e^{u}}{\left(e^{u}+1\right)u^{a}}\,du = \int \frac{u^{-a}}{1+e^{-u}}\,du$

   โดยใช้ $\dfrac{e^{u}}{e^{u}+1} = \dfrac{1}{1+e^{-u}}$ ตัวถูกอินทิเกรตตอนนี้เป็นกำลังคูณกับตัวประกอบแบบแฟร์มี ซึ่งเป็นรูปที่จำได้ว่าไม่ใช่ฟังก์ชันมูลฐาน

2. 2

   กระจายตัวประกอบแฟร์มีเป็นอนุกรมเรขาคณิต สำหรับ $u > 0$ (นั่นคือ $x > 1$) จะได้ $e^{-u} < 1$ ดังนั้น

   $\frac{1}{1+e^{-u}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} e^{-nu}$

   แยกพจน์ $n = 0$ ออกมา

   $\int \frac{u^{-a}}{1+e^{-u}}\,du = \int u^{-a}\,du + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\int u^{-a}e^{-nu}\,du$

3. 3

   อินทิเกรตพจน์นำ สำหรับ $a \ne 1$

   $\int u^{-a}\,du = \frac{u^{1-a}}{1-a} = \frac{(\ln x)^{1-a}}{1-a}$

   ส่วนค่ายกเว้น $a = 1$ พจน์นี้จะกลายเป็น $\ln|u| = \ln|\ln x|$ แทน เป็นกรณีเดียวที่ต้องเปลี่ยนสูตรข้างล่างทิ้ง

4. 4

   เขียนปริพันธ์ที่เหลือด้วยฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์บน เนื่องจาก $\Gamma(s, z) = \int_{z}^{\infty} t^{s-1}e^{-t}\,dt$ สอดคล้องกับ $\dfrac{d}{du}\Gamma(s, nu) = -n^{s}u^{s-1}e^{-nu}$ การตั้ง $s = 1-a$ (เพื่อให้ $u^{s-1} = u^{-a}$) จะให้

   $\int u^{-a}e^{-nu}\,du = -n^{a-1}\,\Gamma(1-a,\, nu)$

5. 5

   ประกอบเป็นปฏิยานุพันธ์ แทน $u = \ln x$ กลับ แล้วดูดเครื่องหมายเข้าไปในการสลับเครื่องหมาย

   $\int \frac{dx}{(x+1)(\ln x)^{a}} = \frac{(\ln x)^{1-a}}{1-a} + \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n^{a-1}\,\Gamma\!\left(1-a,\ n\ln x\right) + C$

   สำหรับ $a \ne 1$ และ $x > 1$

6. 6

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ของรูปปิด ทีละพจน์ $\frac{d}{dx}\Gamma(1-a, n\ln x) = -n^{1-a}(\ln x)^{-a}x^{-n-1}$ อนุพันธ์ทั้งก้อนจึงยุบเป็นผลบวกเรขาคณิต

   $\frac{(\ln x)^{-a}}{x}\left[1 + \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\tfrac1x\right)^{n}\right] = \frac{(\ln x)^{-a}}{x}\cdot\frac{1}{1+\tfrac1x} = \frac{1}{(x+1)(\ln x)^{a}} \ \checkmark$

   ตรวจอีกทางหนึ่ง เมื่อ $a = 0$ ต้องได้ผลแบบมูลฐานคือ $\ln(x+1)$ กลับมา สูตรให้ $\ln x + \sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{-n} = \ln x + \ln\!\left(1+\tfrac1x\right) = \ln(x+1)$ ยืนยันเชิงตัวเลขที่ $x = 1.5,\ 3,\ 7$