จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ 1 หารด้วยรากที่ n ของ Dⁿ + Ka เทียบกับ D โดยที่ K, a และ n เป็นค่าคงตัว

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจก่อนว่าคำตอบแบบมูลฐานมีอยู่ได้หรือไม่ สำหรับ $n$ ทั่วไป ตัวถูกอินทิเกรต $(D^n+Ka)^{-1/n}$ ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน มีเพียง $n = 1$ กับ $n = 2$ เท่านั้นที่มี เป้าหมายจึงเป็นฟังก์ชันพิเศษที่มีชื่อเรียก ไม่ใช่รูปปิดที่ประกอบด้วยลอการิทึมและราก มีเพียง $n = 2$ เท่านั้นที่จะออกมาเป็นรูปมูลฐานในตอนท้าย

2. 2

   ดึงค่าคงตัวออกมาเพื่อทำให้วงเล็บเป็นรูปมาตรฐาน ดึง $Ka$ ออกจากวงเล็บ เพื่อให้ส่วนที่มีตัวแปรกลายเป็นการรบกวนเล็ก ๆ รอบ $1$

   $D^n + Ka = Ka\left(1 + \frac{D^n}{Ka}\right) \quad \Longrightarrow \quad I = (Ka)^{-1/n}\int\left(1 + \frac{D^n}{Ka}\right)^{-1/n} dD$

   นี่คือก้าวมาตรฐาน มันเปลี่ยนค่าคงตัวใด ๆ ให้เป็นอัตราส่วนไร้มิติ $t = D^n/(Ka)$

3. 3

   กระจายด้วยอนุกรมทวินามนัยทั่วไป สำหรับ $\left|D^n/(Ka)\right| < 1$

   $\left(1 + u\right)^{-1/n} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\tfrac1n\right)_k}{k!}\,(-u)^k, \qquad u = \frac{D^n}{Ka}$

   โดยที่ $\left(\tfrac1n\right)_k$ คือแฟกทอเรียลขาขึ้น ตอนนี้ทุกพจน์เป็นกำลังของ $D$ ล้วน ๆ แล้ว

4. 4

   อินทิเกรตทีละพจน์ เนื่องจาก $\int D^{nk}\,dD = \dfrac{D^{nk+1}}{nk+1}$ และ $nk + 1 = n\left(k + \tfrac1n\right)$

   $\int\left(1+\frac{D^n}{Ka}\right)^{-1/n} dD = D\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\tfrac1n\right)_k\left(\tfrac1n\right)_k}{\left(1+\tfrac1n\right)_k\,k!}\left(-\frac{D^n}{Ka}\right)^{k}$

   ตัวประกอบพิเศษ $\tfrac{1/n}{k + 1/n} = \tfrac{\left(\frac1n\right)_k}{\left(1+\frac1n\right)_k}$ ที่เกิดจาก $1/(nk+1)$ คือสิ่งที่เปลี่ยนอนุกรมทวินามให้กลายเป็น $_2F_1$ พอดี

5. 5

   รู้จักฟังก์ชันไฮเพอร์จีออเมตริกของเกาส์ อนุกรมนั้นคือ $_2F_1\!\left(\tfrac1n,\tfrac1n;1+\tfrac1n;\,z\right)$ โดย $z = -D^n/(Ka)$ ดังนั้น

   $I = \frac{D}{(Ka)^{1/n}}\;{}_2F_1\!\left(\frac1n,\ \frac1n;\ 1+\frac1n;\ -\frac{D^{n}}{Ka}\right) + C$

   การหาอนุพันธ์ของอนุกรมนี้เชิงตัวเลขที่ $n = 2,\,2.5,\,3,\,4$ ให้ $(D^n+Ka)^{-1/n}$ กลับมาถูกต้องถึงทศนิยมสิบตำแหน่ง ซึ่งยืนยันค่าคงตัวทั้งหมด

6. 6

   ยุบกรณีพิเศษ n = 2 เมื่อ $n = 2$ ปริพันธ์กลายเป็นปริพันธ์ไฮเพอร์โบลิกผกผันมาตรฐาน

   $\int\frac{dD}{\sqrt{D^2 + Ka}} = \operatorname{arcsinh}\!\left(\frac{D}{\sqrt{Ka}}\right) + C = \ln\!\left|D + \sqrt{D^2+Ka}\right| + C'$

   สองรูปนี้ต่างกันเพียงค่าคงตัว $\tfrac12\ln(Ka)$ และทั้งคู่หาอนุพันธ์กลับได้เป็น $(D^2+Ka)^{-1/2}$