จงอินทิเกรต sin(a · ln(x)) / x^b เทียบกับ x โดยที่ a และ b เป็นค่าคงตัว

Step-by-step solution

1. 1

   แทนค่า $u=\ln x$ เพื่อกำจัดลอการิทึมออกจากภายในไซน์ จะได้ $x=e^{u}$ และ $dx=e^{u}du$ ดังนั้น

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\int\frac{\sin(au)}{e^{bu}}e^{u}\,du=\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du$

   สิ่งที่เคยเป็นส่วนผสมอันน่าอึดอัดของลอการิทึมกับกำลัง กลายเป็นปริพันธ์คลาสสิกของเลขชี้กำลังคูณไซน์

2. 2

   นึกถึงผลลัพธ์มาตรฐาน สำหรับค่าคงตัว $k$ และ $a$ ที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

   $\int e^{ku}\sin(au)\,du=\frac{e^{ku}\left(k\sin(au)-a\cos(au)\right)}{k^{2}+a^{2}}+C$

   พิสูจน์ได้ด้วยการอินทิเกรตทีละส่วนสองครั้งแล้วแก้สมการที่ได้เพื่อหาปริพันธ์ เพราะปริพันธ์เดิมโผล่กลับมาทางขวา จึงไม่ต้องอินทิเกรตทีละส่วนเป็นครั้งที่สาม

3. 3

   นำไปใช้โดยให้ $k=1-b$

   $\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du=\frac{e^{(1-b)u}\left[(1-b)\sin(au)-a\cos(au)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

4. 4

   แทนค่ากลับ โดยใช้ $e^{(1-b)u}=x^{1-b}$ และ $u=\ln x$

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\frac{x^{1-b}\left[(1-b)\sin\left(a\ln x\right)-a\cos\left(a\ln x\right)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

   สูตรนี้ต้องการ $(1-b)^2+a^2\ne 0$ นั่นคือต้องไม่เป็นทั้ง $a=0$ และ $b=1$ พร้อมกัน

5. 5

   ตรวจกรณีพิเศษและตรวจด้วยตัวเลข เมื่อ $b=1$ ปริพันธ์ลดรูปเป็น $\int\tfrac{\sin(a\ln x)}{x}dx$ และสูตรให้ $\tfrac{-a\cos(a\ln x)}{a^2}=-\tfrac{\cos(a\ln x)}{a}$ ซึ่งตรงกับที่ได้จาก $u=\ln x$ โดยตรง $\checkmark$ ในเชิงตัวเลข การหาอนุพันธ์ของปฏิยานุพันธ์ทั่วไปที่ $a=1.7$, $b=0.4$ และ $x=0.7,\,1.3,\,2.5,\,4.0$ ให้ตัวถูกอินทิเกรตกลับมาถูกต้องถึงทศนิยมแปดตำแหน่ง $\checkmark$