จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ e^(−x) คูณ x^3.102378 เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   ดูให้เห็นว่าทำไมการอินทิเกรตทีละส่วนจึงล้มเหลว สำหรับกำลังที่เป็นจำนวนเต็ม อย่าง $x^n e^{-x}$ การทำทีละส่วนซ้ำ ๆ จะลดเลขชี้กำลังลงทีละขั้นจนถึง $x^0$ แล้วปริพันธ์ก็ปิดจบ แต่เมื่อ $a = 3.102378$ เลขชี้กำลังจะไล่ไปเป็น $3.102378,\ 2.102378,\ 1.102378,\ 0.102378,\ -0.897622,\dots$ และไม่มีวันแตะศูนย์ กระบวนการจึงไม่มีวันสิ้นสุด และไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน

2. 2

   เรียกชื่อฟังก์ชันพิเศษที่ปิดจบมันได้ ฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ล่างนิยามว่า

   $\gamma(s,x) = \int_0^{x} t^{s-1}e^{-t}\,dt$

   ตามทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะได้ $\dfrac{d}{dx}\gamma(s,x) = x^{s-1}e^{-x}$

3. 3

   จับคู่เลขชี้กำลัง เราต้องการ $s - 1 = 3.102378$ ดังนั้น

   $s = 4.102378$

   และจึงได้

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \gamma(4.102378,\,x) + C$

4. 4

   เขียนรูปที่สมมูลกันด้วยแกมมาบน เนื่องจาก $\gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s)$ โดยที่ $\Gamma(s)$ คงที่เมื่อเทียบกับ $x$ ปฏิยานุพันธ์ตัวเดียวกันจึงเขียนได้เป็น

   $\int e^{-x}x^{3.102378}\,dx = -\Gamma(4.102378,\,x) + C$

   สองรูปนี้ต่างกันเพียงค่าคงตัว $\Gamma(4.102378)$ ซึ่งถูกกลืนเข้าไปใน $C$

5. 5

   อ่านค่าปริพันธ์จำกัดเขตตลอดรังสี เมื่อให้ $x \to \infty$ แกมมาไม่สมบูรณ์จะยุบกลายเป็นแกมมาสมบูรณ์

   $\int_0^{\infty} e^{-x}x^{3.102378}\,dx = \Gamma(4.102378) \approx 6.83346$

   เทียบกับกรณีจำนวนเต็มที่อยู่ข้างเคียงคือ $\Gamma(4) = 3! = 6$ เลขชี้กำลังที่มากขึ้นเล็กน้อยจึงดันค่าขึ้นไปพอประมาณ ตามที่คาดได้จากการเติบโตอย่างราบเรียบของ $\Gamma$ หลังจาก $s = 4$