จงหาค่าปริพันธ์ไม่ตรงแบบของ x คูณ e^(−x²) dx จาก x = 0 ถึงอนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนปริพันธ์ไม่ตรงแบบใหม่ในรูปลิมิต ขอบบนที่เป็นอนันต์นิยามด้วยลิมิตของปริพันธ์ตรงแบบ และนิยามนี้เองที่ทำให้คำถามเรื่องการลู่เข้ามีความหมาย

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx$

2. 2

   แทนค่า $u=x^2$ ตัวประกอบ $x$ ที่อยู่ข้างหน้าคือสิ่งที่การแทนค่านี้ต้องการพอดี นี่คือเหตุผลที่ $x\,e^{-x^2}$ หาปริพันธ์แบบมูลฐานได้ ขณะที่ $e^{-x^2}$ เดี่ยว ๆ ทำไม่ได้

   $u=x^2,\qquad du=2x\,dx,\qquad x\,dx=\frac{du}{2}$

   ขอบเขตก็เปลี่ยนไปด้วย คือ $x=0\Rightarrow u=0$ และ $x=b\Rightarrow u=b^2$

3. 3

   อินทิเกรตในตัวแปร $u$

   $\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx=\frac12\int_0^{b^2}e^{-u}du=\frac12\left[-e^{-u}\right]_0^{b^2}=\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)$

4. 4

   หาลิมิต เมื่อ $b\to\infty$ จะได้ $b^2\to\infty$ และ $e^{-b^2}\to 0$

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)=\frac12$

   ปริพันธ์นี้ลู่เข้า และลดลงเร็วมาก ที่ $b=3$ หางที่เหลือมีส่วนร่วมเพียง $\tfrac12 e^{-9}\approx 6\times 10^{-5}$

5. 5

   ตรวจเทียบกับผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้อง เนื่องจากตัวถูกอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันคี่ ปฏิยานุพันธ์เดียวกันให้ $\int_{-\infty}^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=0$ ขณะที่คู่หูฝั่ง ฟังก์ชันคู่ คือ $\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\tfrac{\sqrt\pi}{2}\approx 0.886$ ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐานเลย เทียบกันแล้วเห็นได้ว่าตัวประกอบ $x$ เพียงตัวเดียวเปลี่ยนโจทย์ไปมากเพียงใด มีมันก็ได้ $\tfrac12$ พอดี ไม่มีมันก็ต้องใช้กลวิธีของเกาส์