จงหาค่าปริพันธ์ของ e^(i·omega·x) เทียบกับ omega จากลบอนันต์ถึงอนันต์ โดยที่ x เป็นพารามิเตอร์

Step-by-step solution

1. 1

   อินทิเกรตบนหน้าต่างจำกัดที่สมมาตรก่อน ปริพันธ์ไม่ตรงแบบบน $(-\infty,\infty)$ นิยามผ่านลิมิตของชิ้นส่วนที่จำกัด จึงเริ่มจาก $\int_{-A}^{A}$ เมื่อ $x\ne 0$ ปฏิยานุพันธ์ในตัวแปร $\omega$ คือ $\dfrac{1}{ix}e^{i\omega x}$ ดังนั้น

   $\int_{-A}^{A}e^{i\omega x}\,d\omega=\frac{1}{ix}\left(e^{iAx}-e^{-iAx}\right)$

2. 2

   เปลี่ยนฟังก์ชันเลขชี้กำลังให้เป็นไซน์ ใช้ $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$ โดยให้ $\theta=Ax$

   $\int_{-A}^{A}e^{i\omega x}\,d\omega=\frac{2i\sin(Ax)}{ix}=\frac{2\sin(Ax)}{x}$

   นี่คือ $2A\,\operatorname{sinc}(Ax)$ เป็นยอดแหลมสูง $2A$ ที่ $x=0$ ซึ่งพื้นที่รวมคงที่ตลอด

3. 3

   ให้ $A\to\infty$ แบบทีละจุด แล้วดูว่ามันล้มเหลวอย่างไร เมื่อตรึง $x\ne 0$ ตัวประกอบ $\sin(Ax)$ จะแกว่งไปมาระหว่าง $-1$ กับ $1$ ไม่มีวันนิ่ง ดังนั้น $\dfrac{2\sin(Ax)}{x}$ จึงไม่มีลิมิต ส่วนเมื่อ $x=0$ ตัวถูกอินทิเกรตเป็นค่าคงตัว $1$ และ $\int_{-A}^{A}1\,d\omega=2A\to\infty$ ไม่ว่าทางใด ปริพันธ์นี้ก็ลู่ออกในความหมายธรรมดา (รีมันน์หรือเลอเบก)

4. 4

   เปลี่ยนไปทดสอบตระกูลนี้กับฟังก์ชันเรียบแทน แม้ $\dfrac{2\sin(Ax)}{x}$ จะไม่มีลิมิตทีละจุด แต่ พื้นที่ ของมันคงที่

   $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(Ax)}{x}\,dx=2\pi\qquad\text{สำหรับทุก }A>0$

   และเมื่อ $A$ โตขึ้น มวลจะกระจุกแน่นขึ้นเรื่อย ๆ ที่ $x=0$ (การแกว่งที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดจะหักล้างกันเมื่อถ่วงน้ำหนักด้วยฟังก์ชันทดสอบเรียบ $\varphi$ ใด ๆ) นั่นคือพฤติกรรมที่นิยามลำดับเดลตาพอดี

   $\lim_{A\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(Ax)}{x}\varphi(x)\,dx=2\pi\varphi(0)$

5. 5

   ระบุคำตอบทั้งสองแบบ พร้อมบอกว่าแบบไหนใช้ที่ไหน ในฐานะปริพันธ์ไม่ตรงแบบธรรมดา นิพจน์นี้ไม่ลู่เข้า แต่ในฐานะการแจกแจง ซึ่งเป็นความหมายที่ใช้ในการวิเคราะห์ฟูรีเยและเป็นการแปลงผกผันของฟังก์ชันคงตัว $1$ จะได้

   $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}\,d\omega=2\pi\,\delta(x)$

   ค่า $2\pi$ ขึ้นกับธรรมเนียมที่เลือกใช้ ถ้าใช้ธรรมเนียมการแปลงแบบสมมาตร $\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ เอกลักษณ์เดียวกันนี้ก็ยังอ่านว่า $\int e^{i\omega x}\,d\omega=2\pi\delta(x)$ เพียงแต่คู่การแปลงจะพก $\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ ไว้ทั้งสองข้าง