AI Math
เปิดแอป

เครื่องคำนวณปริพันธ์ไม่ตรงแบบ

คำนวณปริพันธ์ไม่ตรงแบบที่มีขอบเขตเป็นอนันต์หรือฟังก์ชันปริพันธ์ไม่มีขอบเขตด้วยเฉลยทีละขั้นตอนด้วย AI

ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพหรือ PDF

∑Math Input
integral from 0 to infinity of e^(-x) dx
integral from 1 to infinity of 1/x^2 dx
integral from 0 to 1 of 1/sqrt(x) dx
integral from -infinity to infinity of 1/(1+x^2) dx

ปริพันธ์ไม่ตรงแบบคืออะไร?

ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ คือปริพันธ์จำกัดเขตที่:

  1. ช่วงเป็นอนันต์: เช่น ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx หรือ ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx
  2. ฟังก์ชันปริพันธ์มีเส้นกำกับแนวตั้ง ภายในหรือที่จุดปลายของช่วง: เช่น ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

ในทั้งสองกรณี ปริพันธ์รีมันน์มาตรฐานไม่นิยาม แต่บางครั้งเราสามารถกำหนดค่าจำกัดได้โดยใช้ ลิมิต

ถ้าลิมิตมีอยู่และเป็นค่าจำกัด ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ลู่เข้า ถ้าลิมิตเป็นอนันต์หรือไม่มีอยู่ ปริพันธ์ ลู่ออก

ปริพันธ์ไม่ตรงแบบเป็นหัวใจสำคัญในความน่าจะเป็น (ค่าคงตัวนอร์มอลไลซ์) การแปลงลาปลาสและฟูริเยร์ และการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม

วิธีคำนวณปริพันธ์ไม่ตรงแบบ

แบบที่ 1: ช่วงอนันต์

แทนอนันต์ด้วยลิมิต:

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx

∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx

สำหรับขอบเขตทั้งสองเป็นอนันต์ ให้แยกที่จุด cc ที่สะดวก:

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx

ทั้งสองส่วนต้องลู่เข้าอย่างอิสระ — มิฉะนั้นปริพันธ์ทั้งหมดลู่ออก

แบบที่ 2: ฟังก์ชันปริพันธ์ไม่มีขอบเขต

ถ้า ff ไม่มีขอบเขตที่ x=cx = c ภายใน [a,b][a, b] ให้แยกและใช้ลิมิต:

∫abf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx+lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

ถ้าจุดเอกฐานอยู่ที่ x=ax = a:

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx

การทดสอบ pp

∫1∞1xp dxลู่เข้าถ้า p>1, ลู่ออกถ้า p≤1\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{ลู่เข้าถ้า } p > 1, \text{ ลู่ออกถ้า } p \leq 1

∫011xp dxลู่เข้าถ้า p<1, ลู่ออกถ้า p≥1\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{ลู่เข้าถ้า } p < 1, \text{ ลู่ออกถ้า } p \geq 1

เลขชี้กำลังวิกฤตคือ p=1p = 1 สังเกตว่ากฎการลู่เข้า ตรงกันข้าม สำหรับสองกรณี

การทดสอบการเปรียบเทียบ

ถ้า 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x) บนช่วง:

  • ∫g\int g ลู่เข้า ⇒∫f\Rightarrow \int f ลู่เข้า
  • ∫f\int f ลู่ออก ⇒∫g\Rightarrow \int g ลู่ออก

มีประโยชน์เมื่อปริพันธ์เองหายาก แต่ขอบเขตหาง่าย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรหลีกเลี่ยง

  • มอง ∞\infty เป็นจำนวน: คุณ 'แทนค่า' ∞\infty ไม่ได้ คุณต้องใช้ลิมิต
  • มองข้ามจุดเอกฐานภายใน: ∫−111x dx\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx มีจุดเอกฐานที่ 00 ภายในช่วง การคำนวณอย่างไร้เดียงสาให้ 00 (ผิด) — จริง ๆ แล้วปริพันธ์ลู่ออก
  • บวกปริพันธ์ไม่ตรงแบบแบบช่วงที่ 'ตัดกัน': ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^\infty x\,dx — ทั้งสองครึ่งลู่ออก ดังนั้นปริพันธ์ลู่ออก 'ค่าหลัก' เป็นแนวคิดที่ต่าง (และอ่อนกว่า)
  • ทิศทางการทดสอบ pp ผิด: ที่ ∞\infty, 1/xp1/x^p ลู่เข้าสำหรับ p>1p > 1 ที่ 00 ลู่เข้าสำหรับ p<1p < 1 สิ่งเหล่านี้ตรงกันข้าม — จำทั้งสอง
  • ลืมตรวจสอบการลู่เข้าก่อนหาปริพันธ์: ปริพันธ์ไม่ตรงแบบที่ลู่ออกไม่มีค่า ตรวจสอบการลู่เข้าก่อนเสมอ

Examples

Step 1: แทนขอบเขตด้วยลิมิต: lim⁡t→∞∫0te−x dx\lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x}\,dx
Step 2: หาปฏิยานุพันธ์: ∫e−x dx=−e−x+C\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Step 3: ใช้ขอบเขต: lim⁡t→∞[−e−x]0t=lim⁡t→∞(−e−t+1)\lim_{t \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t \to \infty}(-e^{-t} + 1)
Step 4: เมื่อ t→∞t \to \infty, e−t→0e^{-t} \to 0 ดังนั้นลิมิตเท่ากับ 11
Answer: 11 (ลู่เข้า)

Step 1: ใช้การทดสอบ pp โดย p=1p = 1: ∫1∞1/xp dx\int_1^\infty 1/x^p\,dx ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ p>1p > 1
Step 2: ในที่นี้ p=1p = 1 ดังนั้นปริพันธ์ลู่ออก
Step 3: ตรวจสอบด้วยลิมิต: lim⁡t→∞[ln⁡x]1t=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\lim_{t \to \infty} [\ln x]_1^t = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
Answer: ลู่ออก

Step 1: จุดเอกฐานที่ x=0x = 0 ใช้การทดสอบ pp ที่ 00: 1/xp1/x^p ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ p<1p < 1
Step 2: ในที่นี้ p=1/2<1p = 1/2 < 1 ดังนั้นลู่เข้า
Step 3: คำนวณ: lim⁡t→0+∫t1x−1/2 dx=lim⁡t→0+[2x]t1\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1
Step 4: =lim⁡t→0+(2−2t)=2= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2
Answer: 22 (ลู่เข้า)

Frequently Asked Questions

ปริพันธ์ไม่ตรงแบบลู่เข้าถ้าลิมิตที่นิยามมันเป็นค่าจำกัด มิฉะนั้นมันลู่ออก หมายความว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งเป็นอนันต์หรือไม่นิยาม

การทดสอบ p ใช้กับปริพันธ์รูป ∫1/x^p บน [1, ∞) หรือ (0, 1] มีประโยชน์ที่สุดเมื่อใช้เปรียบเทียบ: ถ้าฟังก์ชันปริพันธ์ของคุณมีพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับเหมือน 1/x^p คุณจะหาการลู่เข้าได้อย่างรวดเร็ว

ปริพันธ์ไม่ตรงแบบลู่เข้าสัมบูรณ์ถ้า ∫|f| ลู่เข้า มันลู่เข้ามีเงื่อนไขถ้า ∫f ลู่เข้าแต่ ∫|f| ลู่ออก การลู่เข้าสัมบูรณ์แข็งแกร่งกว่าอย่างเคร่งครัด

ได้ — พื้นที่อาจเป็นอนันต์ ∫_1^∞ 1/x dx เป็นตัวอย่างมาตรฐาน: เส้นโค้ง y = 1/x เป็นบวกทุกที่บน [1, ∞) แต่พื้นที่ข้างใต้เป็นอนันต์ (ลู่ออก)

Related Solvers

เครื่องคำนวณปริพันธ์เครื่องคำนวณลิมิตเครื่องคำนวณอนุกรม
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving