เครื่องคำนวณปริพันธ์ไม่ตรงแบบ

ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ คือปริพันธ์จำกัดเขตที่:

1. ช่วงเป็นอนันต์: เช่น $\int_1^\infty f(x)\,dx$ หรือ $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$
2. ฟังก์ชันปริพันธ์มีเส้นกำกับแนวตั้ง ภายในหรือที่จุดปลายของช่วง: เช่น $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

ในทั้งสองกรณี ปริพันธ์รีมันน์มาตรฐานไม่นิยาม แต่บางครั้งเราสามารถกำหนดค่าจำกัดได้โดยใช้ ลิมิต

ถ้าลิมิตมีอยู่และเป็นค่าจำกัด ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ลู่เข้า ถ้าลิมิตเป็นอนันต์หรือไม่มีอยู่ ปริพันธ์ ลู่ออก

ปริพันธ์ไม่ตรงแบบเป็นหัวใจสำคัญในความน่าจะเป็น (ค่าคงตัวนอร์มอลไลซ์) การแปลงลาปลาสและฟูริเยร์ และการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม

แบบที่ 1: ช่วงอนันต์

แทนอนันต์ด้วยลิมิต:

$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx$

$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx$

สำหรับขอบเขตทั้งสองเป็นอนันต์ ให้แยกที่จุด $c$ ที่สะดวก:

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx$

ทั้งสองส่วนต้องลู่เข้าอย่างอิสระ — มิฉะนั้นปริพันธ์ทั้งหมดลู่ออก

แบบที่ 2: ฟังก์ชันปริพันธ์ไม่มีขอบเขต

ถ้า $f$ ไม่มีขอบเขตที่ $x = c$ ภายใน $[a, b]$ ให้แยกและใช้ลิมิต:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx$

ถ้าจุดเอกฐานอยู่ที่ $x = a$:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx$

การทดสอบ $p$

$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{ลู่เข้าถ้า } p > 1, \text{ ลู่ออกถ้า } p \leq 1$

$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{ลู่เข้าถ้า } p < 1, \text{ ลู่ออกถ้า } p \geq 1$

เลขชี้กำลังวิกฤตคือ $p = 1$ สังเกตว่ากฎการลู่เข้า ตรงกันข้าม สำหรับสองกรณี

การทดสอบการเปรียบเทียบ

ถ้า $0 \leq f(x) \leq g(x)$ บนช่วง:

• $\int g$ ลู่เข้า $\Rightarrow \int f$ ลู่เข้า
• $\int f$ ลู่ออก $\Rightarrow \int g$ ลู่ออก

มีประโยชน์เมื่อปริพันธ์เองหายาก แต่ขอบเขตหาง่าย

• มอง $\infty$ เป็นจำนวน: คุณ 'แทนค่า' $\infty$ ไม่ได้ คุณต้องใช้ลิมิต
• มองข้ามจุดเอกฐานภายใน: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx$ มีจุดเอกฐานที่ $0$ ภายในช่วง การคำนวณอย่างไร้เดียงสาให้ $0$ (ผิด) — จริง ๆ แล้วปริพันธ์ลู่ออก
• บวกปริพันธ์ไม่ตรงแบบแบบช่วงที่ 'ตัดกัน': $\int_{-\infty}^\infty x\,dx$ — ทั้งสองครึ่งลู่ออก ดังนั้นปริพันธ์ลู่ออก 'ค่าหลัก' เป็นแนวคิดที่ต่าง (และอ่อนกว่า)
• ทิศทางการทดสอบ $p$ ผิด: ที่ $\infty$, $1/x^p$ ลู่เข้าสำหรับ $p > 1$ ที่ $0$ ลู่เข้าสำหรับ $p < 1$ สิ่งเหล่านี้ตรงกันข้าม — จำทั้งสอง
• ลืมตรวจสอบการลู่เข้าก่อนหาปริพันธ์: ปริพันธ์ไม่ตรงแบบที่ลู่ออกไม่มีค่า ตรวจสอบการลู่เข้าก่อนเสมอ