จงหาปริพันธ์ของ cos x · sin(5 sin x + 2) dx

Step-by-step solution

1. 1

   มองหาฟังก์ชันข้างในที่อนุพันธ์ของมันปรากฏอยู่แล้ว ก้อนที่เป็นฟังก์ชันประกอบคือ $\sin\left(5\sin x+2\right)$ ซึ่งมีฟังก์ชันข้างในเป็น $5\sin x+2$ อนุพันธ์ของมันคือ $5\cos x$ และมี $\cos x$ วางอยู่นอกฟังก์ชันประกอบพอดี ตรงกับแบบรูปที่การแทนค่าถูกออกแบบมาเพื่อจัดการ

2. 2

   ลงมือแทนค่า ให้

   $u=5\sin x+2\quad\Longrightarrow\quad du=5\cos x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \cos x\,dx=\frac{1}{5}\,du$

   การแก้หา $\cos x\,dx$ (แทนที่จะแก้หา $dx$ เดี่ยว ๆ) คือสิ่งที่ทำให้ $x$ หายไปหมด

3. 3

   เขียนปริพันธ์ใหม่ให้อยู่ในตัวแปร u ทั้งหมด

   $\int \sin(u)\cdot\frac15\,du=\frac15\int\sin u\,du$

4. 4

   อินทิเกรต

   $\frac15\int\sin u\,du=\frac15(-\cos u)+C=-\frac{\cos u}{5}+C$

5. 5

   แทนกลับ

   $\boxed{-\frac{1}{5}\cos\left(5\sin x+2\right)+C}$

6. 6

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ โดยกฎลูกโซ่

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac15\cos\left(5\sin x+2\right)\right]=-\frac15\cdot\left(-\sin\left(5\sin x+2\right)\right)\cdot 5\cos x=\cos x\,\sin\left(5\sin x+2\right)$

   ซึ่งเป็นตัวถูกอินทิเกรตเดิม ✓ สังเกตว่าตัวประกอบ $5$ ทั้งสองตัวตัดกัน เป็นเครื่องเตือนใจอย่างดีว่า $\tfrac15$ ในคำตอบไม่ใช่ของที่จะละไว้ได้