จงหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ของ (cos²x − 4 cos x + 3) / sin²x

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจรูปแบบ ที่ $x=0$ ค่า $\cos 0=1$ ตัวเศษจึงเป็น $1-4+3=0$ และ $\sin^2 0=0$ ผลหารเป็น $\tfrac00$ จึงต้องใช้พีชคณิตก่อนการแทนค่าจะใช้ได้

2. 2

   มองตัวเศษเป็นพหุนามกำลังสองในตัวแปร $u=\cos x$ มันแยกตัวประกอบบนจำนวนเต็มได้

   $u^2-4u+3=(u-1)(u-3)\quad\Longrightarrow\quad \cos^2x-4\cos x+3=(\cos x-1)(\cos x-3)$

   ตัวประกอบ $\cos x-1$ คือตัวที่เป็นศูนย์ที่ $x=0$

3. 3

   เขียนตัวส่วนใหม่ให้มีตัวประกอบเดียวกันปรากฏ ใช้เอกลักษณ์พีทาโกรัส

   $\sin^2 x=1-\cos^2 x=(1-\cos x)(1+\cos x)$

   ตอนนี้ทั้งตัวเศษและตัวส่วนมี $1-\cos x$ อยู่ (ต่างกันแค่เครื่องหมาย) — นี่คือสิ่งที่ทำให้การตัดกันเป็นแบบตรงตัว ไม่ใช่แบบเชิงเส้นกำกับ

4. 4

   ตัดทิ้ง เขียน $\cos x-1=-(1-\cos x)$

   $\frac{(\cos x-1)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{-(1-\cos x)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{3-\cos x}{1+\cos x}$

   ซึ่งใช้ได้สำหรับทุก $x$ ใกล้ $0$ ที่ $x\neq 0$ อันเป็นทั้งหมดที่ลิมิตต้องการ

5. 5

   แทนค่าลงในนิพจน์ที่ลดรูปแล้ว ตอนนี้มันต่อเนื่องที่ $x=0$

   $\lim_{x\to 0}\frac{3-\cos x}{1+\cos x}=\frac{3-1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$

6. 6

   ยืนยันด้วยตัวเลข ที่ $x=10^{-3}$ ผลหารเดิมเท่ากับ $1.0000005$ และที่ $x=10^{-4}$ เท่ากับ $1.000000005$ — ทั้งคู่ลู่เข้าสู่ $1$ $\checkmark$