ติดตรงนี้? แก้มันด้วย AI
Calculus · real student question

จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ 2 หารด้วย 1 ลบ x กำลังสอง

Question

จงหาค่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

∫21−x2 dx\int\frac{2}{1-x^2}\,dx

Step-by-step solution

  1. แยกตัวประกอบของตัวส่วน 1−x2=(1−x)(1+x)1-x^2=(1-x)(1+x) เป็นตัวประกอบเชิงเส้นสองตัวที่ ต่างกัน ซึ่งเป็นกรณีที่เศษส่วนย่อยให้ค่าคงตัวง่าย ๆ สองตัวออกมาพอดี สังเกตลำดับ (1−x)(1-x) ไม่ใช่ (x−1)(x-1) การคงเครื่องหมายไว้ตามที่เขียนช่วยเลี่ยงเครื่องหมายลบที่จะเพิ่มมาทีหลัง

  2. ตั้งการแยกเศษส่วนย่อย เขียน

    2(1−x)(1+x)=A1−x+B1+x\frac{2}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}

    แล้วกำจัดตัวส่วน

    2=A(1+x)+B(1−x)=(A+B)+(A−B)x2=A(1+x)+B(1-x)=(A+B)+(A-B)x

  3. จับคู่สัมประสิทธิ์ ข้างซ้ายไม่มีพจน์ xx และมีค่าคงตัวเป็น 22 ดังนั้น

    A−B=0,A+B=2⇒A=B=1A-B=0,\qquad A+B=2\quad\Rightarrow\quad A=B=1

    จึงได้ 21−x2=11−x+11+x\dfrac{2}{1-x^2}=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}

  4. อินทิเกรตทีละก้อน โดยระวังอนุพันธ์ของฟังก์ชันข้างใน

    ∫dx1−x=−ln⁡∣1−x∣,∫dx1+x=ln⁡∣1+x∣\int\frac{dx}{1-x}=-\ln|1-x|,\qquad \int\frac{dx}{1+x}=\ln|1+x|

    เครื่องหมายลบของก้อนแรกมาจากกฎลูกโซ่ เพราะข้างใน 1−x1-x มีอนุพันธ์เป็น −1-1 การลืมมันคือหลุมพรางหลักของปริพันธ์ข้อนี้

  5. รวมลอการิทึมเข้าด้วยกัน

    ∫21−x2 dx=ln⁡∣1+x∣−ln⁡∣1−x∣+C=ln⁡∣1+x1−x∣+C\int\frac{2}{1-x^2}\,dx=\ln|1+x|-\ln|1-x|+C=\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C

    บนช่วง ∣x∣<1|x|<1 ค่านี้เท่ากับ 2artanh⁡(x)+C2\operatorname{artanh}(x)+C

  6. หาอนุพันธ์เพื่อตรวจ

    ddx(ln⁡∣1+x∣−ln⁡∣1−x∣)=11+x+11−x=(1−x)+(1+x)(1+x)(1−x)=21−x2\frac{d}{dx}\left(\ln|1+x|-\ln|1-x|\right)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{(1-x)+(1+x)}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}

    ได้ตัวถูกอินทิเกรตเดิมกลับมา เป็นการยืนยันคำตอบ

Answer

∫21−x2 dx=ln⁡∣1+x1−x∣+C\int\frac{2}{1-x^2}\,dx=\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions