จงหาค่าปริพันธ์ของ (x + 3)/(x² − 5x + 6) เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   แยกตัวประกอบตัวส่วนเพื่อเลือกเทคนิคให้ถูก

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   ตัวประกอบเชิงเส้นสองตัวที่ ต่างกัน หมายความว่าตัวถูกอินทิเกรตแยกเป็นเศษส่วนง่าย ๆ สองก้อนที่มีตัวเศษเป็นค่าคงตัว ไม่มีความยุ่งยากเรื่องรากซ้ำหรือพหุนามกำลังสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้ อีกทั้งดีกรีของตัวเศษ ($1$) ต่ำกว่าดีกรีของตัวส่วน ($2$) อยู่แล้ว จึงไม่ต้องหารยาวก่อน

2. 2

   ตั้งการแยกเศษส่วนย่อย

   $\frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$

   คูณตลอดด้วย $(x-2)(x-3)$ เพื่อกำจัดตัวส่วน

   $x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2)$

3. 3

   หา A และ B ด้วยการแทนราก ทางที่เร็วที่สุดคือแทนค่าที่ทำให้วงเล็บหายไปทีละอัน ให้ $x = 3$

   $6 = B(3 - 2) \ \Longrightarrow \ B = 6$

   ให้ $x = 2$

   $5 = A(2 - 3) \ \Longrightarrow \ A = -5$

   (การจับคู่สัมประสิทธิ์ให้ระบบเดียวกันคือ $A + B = 1$, $-3A - 2B = 3$)

4. 4

   ตรวจการแยกเศษส่วนก่อนอินทิเกรต เมื่อ $A = -5$ และ $B = 6$

   $\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{-5(x-3) + 6(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x + 3}{(x-2)(x-3)} \ \checkmark$

   การตรวจตรงนี้ใช้เวลาบรรทัดเดียว แต่จับความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายได้ก่อนที่มันจะลามเข้าไปในปริพันธ์

5. 5

   อินทิเกรตทีละพจน์ แต่ละก้อนอยู่ในรูป $\int \frac{k}{x - a}\,dx = k\ln|x - a|$

   $\int \left(\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3}\right) dx = -5\ln|x - 2| + 6\ln|x - 3| + C$

   ค่าสัมบูรณ์มีความสำคัญ ปฏิยานุพันธ์ใช้ได้แยกกันบนแต่ละช่วงในสามช่วงคือ $x < 2$, $2 < x < 3$, $x > 3$

6. 6

   หาอนุพันธ์ย้อนกลับเป็นการตรวจขั้นสุดท้าย

   $\frac{d}{dx}\left(-5\ln|x-2| + 6\ln|x-3|\right) = \frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3} = \frac{x+3}{x^2 - 5x + 6} \ \checkmark$

   สุ่มตรวจเชิงตัวเลขที่ $x = 5$ ทั้งสองรูปให้ $\frac{8}{6} = 1.3\overline{3}$ เท่ากัน คำตอบยังเขียนได้อีกแบบเป็น $\ln\left|\frac{(x-3)^6}{(x-2)^5}\right| + C$