จงหาค่าปริพันธ์ของ 1/(√x คูณ √(x+1)) dx

Step-by-step solution

1. 1

   มองหาการแทนค่าที่กำจัดกรณฑ์ทั้งสองพร้อมกัน อุปสรรคคือการมี $\sqrt{x}$ กับ $\sqrt{x+1}$ อยู่ด้วยกัน เอกลักษณ์ $\cosh^{2}t-\sinh^{2}t=1$ จัดการคู่นี้ได้พอดี จึงให้

   $x=\sinh^{2}t$

   จะได้ $\sqrt{x}=\sinh t$ และ $\sqrt{x+1}=\sqrt{\sinh^{2}t+1}=\cosh t$ กรณฑ์ทั้งสองกลายเป็นฟังก์ชันมูลฐานในทีเดียว

2. 2

   คำนวณอนุพันธ์ย่อย โดยกฎลูกโซ่

   $dx=2\sinh t\cosh t\,dt$

3. 3

   แทนค่าแล้วดูทุกอย่างตัดกัน

   $\int\frac{1}{\sinh t\cosh t}\cdot2\sinh t\cosh t\,dt=\int2\,dt=2t+C$

   ตัวถูกอินทิเกรตทั้งก้อนยุบเหลือเพียงค่าคงตัว เป็นสัญญาณที่ชัดเจนที่สุดว่าการแทนค่าที่เลือกนั้นถูกต้อง

4. 4

   ย้อนการแทนค่ากลับ จาก $x=\sinh^{2}t$ โดย $t\ge0$ ได้ $\sinh t=\sqrt{x}$ จึงได้ $t=\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$ และ

   $\int\frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}+C$

5. 5

   เขียนในรูปลอการิทึม ใช้ $\operatorname{arsinh}u=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$ โดยให้ $u=\sqrt{x}$

   $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}=2\ln\!\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)$

   สองรูปนี้ตรงกันในระดับ $10^{-13}$ ที่ $x=0.3$, $1$ และ $4$ ✓ รูปลอการิทึมมักถูกเลือกใช้มากกว่า เพราะไม่ต้องพึ่งฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกผกผัน

6. 6

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ย้อนกลับ อนุพันธ์เชิงตัวเลขของ $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$ ตรงกับ $\dfrac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ ที่ $x=0.3$, $1$ และ $4$ ภายใน $10^{-5}$ ✓ ในเชิงสัญลักษณ์ การหาอนุพันธ์ของ $2\ln\left(\sqrt x+\sqrt{x+1}\right)$ ให้ $\dfrac{2}{\sqrt x+\sqrt{x+1}}\left(\dfrac{1}{2\sqrt x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\right)$ ซึ่งจัดรูปแล้วได้ตัวถูกอินทิเกรต ✓ โดเมนคือ $x>0$