จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ (1 − u²) หารด้วย (a − b u²) ยกกำลัง 3/2 เทียบกับ u

Step-by-step solution

1. 1

   สร้างปฏิยานุพันธ์หลักด้วยการเดาแล้วหาอนุพันธ์ แทนที่จะแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ ให้หาอนุพันธ์ของ $\dfrac{u}{\sqrt{a-bu^2}}$ ด้วยกฎผลคูณ

   $\frac{d}{du}\left[u(a-bu^2)^{-1/2}\right]=\frac{1}{\sqrt{a-bu^2}}+\frac{bu^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   จึงได้

   $\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}$

2. 2

   แยกตัวเศษ

   $\int\frac{1-u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}\,du=\int\frac{du}{(a-bu^2)^{3/2}}-\int\frac{u^2\,du}{(a-bu^2)^{3/2}}$

   ก้อนแรกทำเสร็จไปแล้ว เหลือเพียงก้อนที่มี $u^2$ ที่ยังต้องจัดการ

3. 3

   เปลี่ยน $u^2$ ให้เป็นนิพจน์ของตัวส่วนเอง เอกลักษณ์

   $u^2=\frac{a-(a-bu^2)}{b}$

   ทำให้เขียนได้ว่า

   $\frac{u^2}{(a-bu^2)^{3/2}}=\frac{a}{b(a-bu^2)^{3/2}}-\frac{1}{b\sqrt{a-bu^2}}$

   นี่คือกลเม็ดทั้งหมด มันเปลี่ยนตัวเศษที่ดูยุ่งยากให้เป็นปริพันธ์สองก้อนที่เรารู้จักอยู่แล้ว โดยไม่ต้องใช้การแทนค่าตรีโกณมิติเลย

4. 4

   ประกอบชิ้นส่วนเข้าด้วยกัน ใช้ผลจากขั้นที่ 1 ร่วมกับ $\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{a-bu^2}}=\frac{1}{\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)$

   $I=\frac{u}{a\sqrt{a-bu^2}}-\frac{u}{b\sqrt{a-bu^2}}+\frac{1}{b\sqrt b}\arcsin\!\left(u\sqrt{\tfrac{b}{a}}\right)+C$

   รวมสองพจน์แรกให้อยู่บนตัวส่วน $ab$ จะได้สัมประสิทธิ์ $\dfrac{b-a}{ab}$

5. 5

   ตรวจคำตอบด้วยการหาอนุพันธ์ ใช้ค่าจริง $a=2$, $b=0.7$ การหาอนุพันธ์เชิงตัวเลขของรูปปิดที่ $u=0.1$ ให้ $0.3518635229$ และตัวถูกอินทิเกรต $(1-u^2)/(a-bu^2)^{3/2}$ ที่ $u=0.1$ ให้ $0.3518635229$ ✓ ที่ $u=0.5$ ทั้งสองให้ $0.3042054288$ ✓ ปฏิยานุพันธ์จึงถูกต้อง