จงหาค่าปริพันธ์ของ ln x เทียบกับ x จาก 0 ถึง 1

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่าปริพันธ์นี้เป็นแบบไม่ตรงแบบก่อนจะคำนวณอะไร $\ln x\to-\infty$ เมื่อ $x\to0^+$ ตัวถูกอินทิเกรตจึงไม่มีขอบเขตที่ปลายล่าง ต้องนิยามปริพันธ์นี้ด้วยลิมิต

   $\int_0^1\ln x\,dx=\lim_{a\to0^+}\int_a^1\ln x\,dx$

   ถ้าข้ามขั้นนี้ไปแล้วแทน $0$ ลงไปตรง ๆ จะได้นิพจน์ที่ไม่นิยามคือ $0\cdot\ln 0$

2. 2

   หาปฏิยานุพันธ์ด้วยการอินทิเกรตทีละส่วน ให้ $u=\ln x$ และ $dv=dx$ ดังนั้น $du=\tfrac{dx}{x}$ และ $v=x$

   $\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx=x\ln x-x+C$

   การเลือก $dv=dx$ คือสิ่งที่ทำให้วิธีนี้ได้ผล เพราะมันเปลี่ยน $\ln x$ เป็น $1/x$ ซึ่งไปตัดกับ $v=x$ พอดี

3. 3

   หาค่าบน $[a,1]$

   $\int_a^1\ln x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_a^1=(0-1)-(a\ln a-a)=-1-a\ln a+a$

4. 4

   หาลิมิตที่ปลายซึ่งเป็นจุดเอกฐาน พจน์เดียวที่ต้องระวังคือ $a\ln a$ เขียนใหม่เป็น $\dfrac{\ln a}{1/a}$ แล้วใช้กฎโลปิตาลได้ $\dfrac{1/a}{-1/a^2}=-a\to0$ ดังนั้น

   $\lim_{a\to0^+}\left(-1-a\ln a+a\right)=-1$

   ปริพันธ์นี้ลู่เข้าแม้ตัวถูกอินทิเกรตจะพุ่งไม่มีขอบเขต เพราะจุดเอกฐานเป็นแบบลอการิทึม จึงยังอินทิเกรตได้

5. 5

   ตรวจเครื่องหมายและขนาดว่าสมเหตุสมผล บน $(0,1)$ มี $\ln x<0$ คำตอบที่เป็นลบจึงเป็นไปตามคาด ค่าเฉลี่ยของ $\ln x$ บน $[0,1]$ จึงเท่ากับ $-1$ สอดคล้องกับ $e^{-1}\approx0.368$ ซึ่งเป็นจุดที่ $\ln x$ เท่ากับค่าเฉลี่ยของตัวเอง ตรงกับกราฟ ✓