จงหาค่าปริพันธ์ของ 1/(2 + 2x²)² จากลบอนันต์ถึงอนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   ดึงค่าคงตัวออกจากวงเล็บก่อน เนื่องจาก $2+2x^2=2(1+x^2)$

   $\left(2+2x^2\right)^{2}=4\left(1+x^2\right)^{2}\ \Longrightarrow\ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(2+2x^2\right)^2}=\frac14\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(1+x^2\right)^{2}}$

   ทำขั้นนี้ก่อนการแทนค่าจะทำให้ยังเห็นปริพันธ์มาตรฐานได้ชัด

2. 2

   ตรวจว่าปริพันธ์ไม่ตรงแบบนี้ลู่เข้า เมื่อ $|x|$ โต ตัวถูกอินทิเกรตมีพฤติกรรมแบบ $x^{-4}$ และ $\int^{\infty}x^{-4}\,dx$ ลู่เข้า หางทั้งสองข้างจึงมีค่าจำกัด และค่าของปริพันธ์นิยามได้

3. 3

   แทนค่า $x=\tan\theta$ จะได้ $dx=\sec^2\theta\,d\theta$ และ $1+x^2=\sec^2\theta$ ดังนั้น

   $\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\int\frac{\sec^2\theta}{\sec^4\theta}\,d\theta=\int\cos^2\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}$

4. 4

   ใส่ขอบเขตตลอดเส้นจำนวนจริง เมื่อ $x$ วิ่งจาก $-\infty$ ถึง $\infty$ ค่า $\theta$ วิ่งจาก $-\tfrac\pi2$ ถึง $\tfrac\pi2$ และ $\sin 2\theta$ เป็นศูนย์ที่ปลายทั้งสองข้าง

   $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}$

5. 5

   คูณด้วยค่าคงตัวที่ดึงออกมา

   $\frac14\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}\approx 0.3926991$

6. 6

   ยืนยันเชิงตัวเลข กฎจุดกึ่งกลางบน $[-2000,2000]$ ด้วยช่วงย่อยสี่ล้านช่วงให้ $0.39269908168$ เทียบกับ $\pi/8=0.39269908170$ ตรงกันถึงทศนิยมสิบตำแหน่ง และหางที่ถูกตัดทิ้งเลย $\pm 2000$ ออกไปมีส่วนร่วมน้อยกว่า $10^{-9}$