จงหาค่าปริพันธ์ไม่ตรงแบบของ 1/(x + √(x² − 1))² เทียบกับ x จาก 1 ถึงอนันต์ และอธิบายว่าทำไมขอบล่างเป็น 0 ไม่ได้

Step-by-step solution

1. 1

   กำหนดโดเมนให้ชัดก่อนอินทิเกรต เมื่อ $0\le x<1$ ค่าใต้กรณฑ์ $x^2-1$ เป็นลบ ดังนั้น $\sqrt{x^2-1}$ จึงไม่ใช่จำนวนจริง และตัวถูกอินทิเกรตไม่นิยามในช่วงนั้น ช่วงที่กว้างที่สุดซึ่งทำให้นี่เป็นปริพันธ์จำนวนจริงแท้ ๆ เริ่มที่ $x=1$ การเขียนขอบล่างเป็น $0$ จึงเป็นความผิดพลาดในการตั้งโจทย์ ไม่ใช่ปัญหาเรื่องการลู่เข้า

2. 2

   เลือกการแทนค่าที่ทำให้กรณฑ์เป็นเชิงเส้น สำหรับ $x\ge 1$ ให้

   $x=\cosh t,\qquad t\ge 0$

   จะได้ $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\cosh^2t-1}=\sinh t$ (ไม่เป็นลบเมื่อ $t\ge0$) และ $dx=\sinh t\,dt$

3. 3

   จัดรูปวงเล็บ นี่คือเหตุผลที่ cosh เป็นตัวเลือกที่ถูกต้อง

   $x+\sqrt{x^2-1}=\cosh t+\sinh t=e^{t}$

   วงเล็บที่ยกกำลังสองจึงเป็นเพียง $e^{2t}$ ส่วนขอบเขตเปลี่ยนเป็น $x=1\Rightarrow t=0$ และ $x\to\infty\Rightarrow t\to\infty$

4. 4

   เขียนปริพันธ์ใหม่

   $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^{2}}=\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh t}{e^{2t}}\,dt=\int_0^\infty e^{-2t}\sinh t\,dt$

5. 5

   กระจายไฮเพอร์โบลิกไซน์ให้เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เมื่อ $\sinh t=\tfrac{e^t-e^{-t}}{2}$

   $e^{-2t}\sinh t=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}$

   ซึ่งเป็นผลต่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ลดลงสองตัว ทั้งคู่อินทิเกรตได้บน $[0,\infty)$

6. 6

   อินทิเกรตแล้วหาค่า เนื่องจาก $\int_0^\infty e^{-kt}dt=\tfrac1k$

   $\frac12\left(\int_0^\infty e^{-t}dt-\int_0^\infty e^{-3t}dt\right)=\frac12\left(1-\frac13\right)=\frac12\cdot\frac23=\frac13$

   การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของ $\int_0^{40}e^{-2t}\sinh t\,dt$ ให้ $0.3333333333$ ยืนยันค่าพอดี $\tfrac13$