จงหา dy/dx ของ x sec y = 4y − y tan 2x

Step-by-step solution

1. 1

   มอง $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ ตลอดทั้งข้อ สมการนี้แก้หา $y$ ในรูปปิดไม่ได้ จึงหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ $x$ แล้วให้ทุก $y$ พก $\dfrac{dy}{dx}$ ที่ซ่อนอยู่ติดมาจากกฎลูกโซ่ ทั้งสองข้างมีผลคูณระหว่างตัวประกอบที่ขึ้นกับ $x$ กับตัวประกอบที่ขึ้นกับ $y$ กฎผลคูณจึงถูกใช้สองครั้ง

2. 2

   หาอนุพันธ์ข้างซ้าย ให้ $u=x$ และ $v=\sec y$ พร้อมใช้ $\dfrac{d}{dx}\sec y=\sec y\tan y\,\dfrac{dy}{dx}$ จะได้ $\frac{d}{dx}\left(x\sec y\right)=\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}.$

3. 3

   หาอนุพันธ์ข้างขวา โดยเก็บตัวประกอบ $2$ จากข้างในไว้ พจน์ $4y$ ให้ $4\dfrac{dy}{dx}$ ส่วน $y\tan 2x$ ใช้กฎผลคูณร่วมกับกฎลูกโซ่ (สังเกตว่า $\dfrac{d}{dx}\tan 2x = 2\sec^{2}2x$ ไม่ใช่ $\sec^{2}2x$) ได้ $\frac{d}{dx}\left(y\tan 2x\right)=\frac{dy}{dx}\tan 2x + 2y\sec^{2}2x,$ ข้างขวาทั้งก้อนจึงมีอนุพันธ์เป็น $4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x.$ การทำตัวประกอบ $2$ ตัวนั้นหล่นหายคือความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในโจทย์ข้อนี้

4. 4

   รวบพจน์ที่มี $\dfrac{dy}{dx}$ ไว้ข้างเดียวกัน จับอนุพันธ์ทั้งสองข้างมาเท่ากัน $\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}=4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x,$ แล้วย้ายพจน์ที่มี $\dfrac{dy}{dx}$ ไปขวา ที่เหลือไปซ้าย $\sec y + 2y\sec^{2}2x=\frac{dy}{dx}\left(4-\tan 2x-x\sec y\tan y\right).$

5. 5

   หารเพื่อแยกอนุพันธ์ออกมา $\frac{dy}{dx}=\frac{\sec y + 2y\sec^{2}2x}{4-\tan 2x-x\sec y\tan y}.$ ผลลัพธ์ขึ้นกับทั้ง $x$ และ $y$ อย่างชอบธรรม ซึ่งเป็นเรื่องปกติของเส้นโค้งแบบโดยปริยาย ถ้าต้องการค่าที่เป็นตัวเลขก็ต้องมีจุดที่สอดคล้องกับสมการเดิมจริง ๆ

6. 6

   ตรวจด้วยทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย เขียน $F(x,y)=x\sec y-4y+y\tan 2x$ จะได้ $F_{x}=\sec y+2y\sec^{2}2x$ และ $F_{y}=x\sec y\tan y-4+\tan 2x$ แล้ว $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_{x}}{F_{y}}$ ให้นิพจน์เดิมกลับมา การทดสอบเชิงตัวเลขยืนยันอีกทาง ที่ $x=0.3$ เส้นโค้งผ่านจุด $y=0.09084883$ และผลต่างกลางของ $y(x)$ ที่แก้แบบโดยปริยายให้ $0.38647161$ ขณะที่สูตรให้ $0.38647161$ เช่นกัน