จงหา dy/dx ของเส้นโค้ง 20x^20·y + y^8 = 33 − 30x^6

Step-by-step solution

1. 1

   มอง $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ ที่ยังไม่ทราบค่า การหาอนุพันธ์โดยปริยายคือการหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ $x$ โดยจำไว้ว่า $y$ ทุกตัวแท้จริงแล้วคือ $y(x)$ ผลก็คือ $y$ ทุกตัวที่ถูกหาอนุพันธ์จะทิ้งตัวประกอบ $\dfrac{dy}{dx}$ ไว้ตามกฎลูกโซ่ ตัวประกอบนี้เองคือเหตุผลทั้งหมดที่วิธีนี้ใช้ได้

2. 2

   หาอนุพันธ์ของพจน์ผสมด้วยกฎผลคูณ $20x^{20}y$ เป็นผลคูณของตัวประกอบสองตัวที่ขึ้นกับ $x$

   $\frac{d}{dx}\left(20x^{20}y\right)=20\left(20x^{19}y+x^{20}\frac{dy}{dx}\right)=400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}$

   การหาอนุพันธ์เฉพาะส่วนที่เป็นกำลังแล้วเขียนแค่ $400x^{19}y$ คือความผิดพลาดมาตรฐานตรงนี้

3. 3

   หาอนุพันธ์ของพจน์ $y$ ล้วนและข้างขวา

   $\frac{d}{dx}\left(y^{8}\right)=8y^{7}\frac{dy}{dx},\qquad \frac{d}{dx}\left(33-30x^{6}\right)=-180x^{5}$

   ค่าคงตัว $33$ ไม่ให้อะไรเลย

4. 4

   ประกอบสมการที่หาอนุพันธ์แล้ว

   $400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}+8y^{7}\frac{dy}{dx}=-180x^{5}$

5. 5

   รวบพจน์ที่มี $\frac{dy}{dx}$ ไว้ข้างเดียวกันแล้วดึงตัวประกอบ

   $\left(20x^{20}+8y^{7}\right)\frac{dy}{dx}=-180x^{5}-400x^{19}y$

   การดึงตัวประกอบทำได้เสมอ เพราะ $\frac{dy}{dx}$ ปรากฏเป็นกำลังหนึ่งเท่านั้น การหาอนุพันธ์โดยปริยายของความสัมพันธ์แบบพหุนามให้สมการเชิงเส้นใน $\frac{dy}{dx}$ เสมอ

6. 6

   หารแล้วจัดรูป

   $\frac{dy}{dx}=\frac{-180x^{5}-400x^{19}y}{20x^{20}+8y^{7}}=\frac{-45x^{5}-100x^{19}y}{5x^{20}+2y^{7}}$

   ตรวจเชิงตัวเลข ที่ $x=0.9$ เส้นโค้งให้ $y=1.38685$ และสูตรคืนค่า $-2.2271533$ ตรงกับอนุพันธ์เชิงตัวเลขของ $y(x)$ ที่นิยามโดยปริยายถึงทศนิยมเก้าตำแหน่ง ✓ คำตอบมีทั้ง $x$ และ $y$ อยู่ด้วยอย่างชอบธรรม ซึ่งเป็นเรื่องปกติของอนุพันธ์โดยปริยาย