จงใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยายเพื่อหา dy/dx ของ x^3 + x^2·y + y^3 = 7

Step-by-step solution

1. 1

   พิจารณาว่าทำไมต้องใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย ความสัมพันธ์นี้แก้หา $y$ ออกมาโดด ๆ อย่างเรียบร้อยไม่ได้ จึงหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ $x$ โดยมอง $y$ เป็นฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า $y(x)$ ทุกครั้งที่ $y$ ปรากฏจะให้ตัวประกอบ $\frac{dy}{dx}$ ออกมาจากกฎลูกโซ่

2. 2

   หาอนุพันธ์ของพจน์ผสมด้วยกฎผลคูณ พจน์ $x^{2}y$ เป็นผลคูณของฟังก์ชันสองตัวที่ขึ้นกับ $x$ ดังนั้น $\frac{d}{dx}\left(x^{2}y\right)=x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy .$ การลืมครึ่งที่เป็น $2xy$ ตรงนี้คือความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในโจทย์แบบนี้

3. 3

   หาอนุพันธ์ของพจน์ที่เหลือ พจน์กำลังล้วนให้ $\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}$ กฎลูกโซ่ให้ $\frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\frac{dy}{dx}$ และค่าคงตัวให้ $\frac{d}{dx}(7)=0$ รวมทุกอย่างเข้าด้วยกันได้ $3x^{2}+x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy+3y^{2}\frac{dy}{dx}=0 .$

4. 4

   รวบพจน์ที่มี dy/dx ไว้ข้างเดียวกัน จัดกลุ่มได้ $\left(x^{2}+3y^{2}\right)\frac{dy}{dx}=-3x^{2}-2xy .$

5. 5

   แก้สมการแล้วระบุจุดที่สูตรใช้ไม่ได้ หารออกมาได้ $\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}+2xy}{x^{2}+3y^{2}} .$ ใช้ได้ทุกที่ที่ $x^{2}+3y^{2}\ne 0$ นั่นคือทุกจุดยกเว้นจุดกำเนิด ซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นโค้งนี้อยู่แล้วเพราะ $0\ne 7$ สูตรจึงใช้ได้ที่ทุกจุดบนเส้นโค้ง