Arithmetic · real student question

จงหาค่า (ก) (8^(1/3) x 0.333... - 30^(-1)) / (3^(1/2) x 3^(1.5/3) - 1/15) และ (ข) (2.1333... / (5^(-3) + 1/3))^(-3/2) โดยตอบเป็นเศษส่วนที่แน่นอน

Question

จงหาค่าต่อไปนี้ โดยตอบเป็นเศษส่วนที่แน่นอน

(ก) 813×0,333…−(30)−1312×31,53−115\dfrac{8^{\frac13}\times 0{,}333\ldots-(30)^{-1}}{3^{\frac12}\times 3^{\frac{1{,}5}{3}}-\frac{1}{15}}

(ข) (2,133…5−3+13)−32\left(\dfrac{2{,}133\ldots}{5^{-3}+\frac13}\right)^{-\frac32}

Step-by-step solution

  1. แปลงทศนิยมซ้ำทุกตัวเป็นเศษส่วนก่อนจะไปแตะเลขชี้กำลัง สำหรับทศนิยมที่ซ้ำล้วน ให้ x=0.333…x=0.333\ldots แล้ว 10x=3.333…10x=3.333\ldots ลบกันได้ 9x=39x=3 ดังนั้น x=39=13x=\frac39=\frac13 ทั้งสองชื่อคือจำนวนเดียวกัน เพียงแต่ 39\frac39 ยังไม่ใช่เศษส่วนอย่างต่ำ

    ส่วน 2.133…2.133\ldots ท่อนที่ซ้ำเริ่ม หลัง เลขโดดคงที่หนึ่งตัว จึงต้องใช้ตัวคูณสองตัว โดยให้ y=0.1333…y=0.1333\ldots จะได้ 100y−10y=13.33…−1.33…=12100y-10y=13.33\ldots-1.33\ldots=12 ดังนั้น y=1290=215y=\frac{12}{90}=\frac{2}{15} และ

    2.133…=2+215=32152.133\ldots=2+\frac{2}{15}=\frac{32}{15}

    เตือนถึงกับดักที่พบบ่อยมาก: 0.0333…=1300.0333\ldots=\frac{1}{30} ไม่ใช่ 39\frac{3}{9} การเลื่อนท่อนที่ซ้ำไปทางขวาหนึ่งตำแหน่งคือการหารค่าด้วย 1010

  2. จัดรูปเลขชี้กำลังตรรกยะในข้อ (ก) 81/3=83=28^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2 และเนื่องจาก 1,5=321{,}5=\frac32 จะได้ 1,53=12\frac{1{,}5}{3}=\frac12 ดังนั้น

    312×312=312+12=31=33^{\frac12}\times3^{\frac12}=3^{\frac12+\frac12}=3^{1}=3

    การบวกเลขชี้กำลังเมื่อฐานเหมือนกันคือสิ่งที่ทำให้ตัวส่วนนี้ยุบเหลือจำนวนเต็ม

  3. คำนวณตัวเศษและตัวส่วนของข้อ (ก) แยกกัน

    ตัวเศษ=2⋅13−130=2030−130=1930\text{ตัวเศษ}=2\cdot\frac13-\frac{1}{30}=\frac{20}{30}-\frac{1}{30}=\frac{19}{30}

    ตัวส่วน=3−115=4515−115=4415\text{ตัวส่วน}=3-\frac{1}{15}=\frac{45}{15}-\frac{1}{15}=\frac{44}{15}

    19/3044/15=1930×1544=192⋅44=1988\frac{19/30}{44/15}=\frac{19}{30}\times\frac{15}{44}=\frac{19}{2\cdot44}=\frac{19}{88}

  4. สร้างเศษส่วนข้างในของข้อ (ข) เมื่อ 5−3=11255^{-3}=\frac{1}{125}

    5−3+13=3375+125375=1283755^{-3}+\frac13=\frac{3}{375}+\frac{125}{375}=\frac{128}{375}

    32/15128/375=3215×375128=32×25128=254\frac{32/15}{128/375}=\frac{32}{15}\times\frac{375}{128}=\frac{32\times25}{128}=\frac{25}{4}

    ตัวเลขถูกเลือกมาให้ผลลัพธ์ลงตัวเป็นกำลังสองสมบูรณ์หารด้วยกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งเป็นใบ้สำหรับขั้นถัดไป

  5. ใช้เลขชี้กำลังเศษส่วนที่ติดลบ เลขชี้กำลังติดลบพลิกเศษส่วน และเลขชี้กำลัง 32\frac32 หมายถึง "ถอดรากที่สองแล้วยกกำลังสาม"

    (254)−32=(425)32=[(25)2]32=(25)3=8125\left(\frac{25}{4}\right)^{-\frac32}=\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac32}=\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\right]^{\frac32}=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125}

  6. ตรวจคำตอบทั้งสองในรูปทศนิยม 1988=0.2159…\frac{19}{88}=0.2159\ldots และคำนวณตรง ๆ ได้ 0.63332.9333=0.2159\frac{0.6333}{2.9333}=0.2159 ส่วนข้อ (ข) 8125=0.064\frac{8}{125}=0.064 และ 6.25−1.5=0.0646.25^{-1.5}=0.064 ตรงกันทั้งคู่

Answer

(ก) 1988(ข) 8125\text{(ก)}\ \frac{19}{88}\qquad\text{(ข)}\ \frac{8}{125}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions