โปสเตอร์ขนาด 64 ซม. x 36 ซม. จะถูกตัดเป็นรูปจัตุรัสที่เหมือนกันโดยไม่เหลือเศษ จงหาความยาวด้านที่มากที่สุดของจัตุรัส และจำนวนจัตุรัสที่น้อยที่สุด

Step-by-step solution

1. 1

   แปลงคำว่า "ไม่เหลือเศษ" ให้เป็นเงื่อนไขการหารลงตัว ถ้าจัตุรัสมีด้านยาว $s$ จัตุรัสเต็มชิ้นต้องเรียงพอดีตามขอบทั้งสองด้าน ดังนั้น $64$ และ $36$ ต่างต้องเป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ $s$

   $s\mid 64\quad\text{และ}\quad s\mid 36$

   พูดอีกอย่างคือ $s$ เป็น ตัวหารร่วม ของ $64$ กับ $36$ และค่า $s$ ที่ใหญ่ที่สุดที่ใช้ได้คือตัวหารร่วมมากของทั้งสอง นี่คือแก่นทั้งหมดของโจทย์ ส่วนเรขาคณิตเพียงแค่ป้อนเงื่อนไขการหารลงตัวมาให้

2. 2

   หา ห.ร.ม. ด้วยการแยกตัวประกอบเฉพาะ

   $64=2^6,\qquad 36=2^2\times3^2$

   ห.ร.ม. เลือกจำนวนเฉพาะที่ใช้ร่วมกัน โดยยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่ น้อยกว่า จำนวนเฉพาะ $3$ ปรากฏเฉพาะใน $36$ จึงไม่มีส่วนร่วม ส่วนจำนวนเฉพาะ $2$ ปรากฏด้วยเลขชี้กำลัง $6$ และ $2$ จึงให้ $2^2$

   $\gcd(64,36)=2^2=4$

   จัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดจึงมีด้านยาว $4$ ซม. (ขั้นตอนวิธียุคลิดให้ผลเดียวกันแต่เร็วกว่า: $64=1\cdot36+28$, $36=1\cdot28+8$, $28=3\cdot8+4$, $8=2\cdot4+0$ เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ $4$)

3. 3

   นับจำนวนจัตุรัสตามขอบแต่ละด้าน

   $\frac{64}{4}=16\ \text{จัตุรัสตามด้านยาว},\qquad \frac{36}{4}=9\ \text{จัตุรัสตามด้านกว้าง}$

   การหารทั้งสองลงตัวพอดี ยืนยันว่าการปูจัตุรัสทำได้จริงโดยไม่มีเศษตัดทิ้ง

4. 4

   คูณกันเพื่อหาจำนวนจัตุรัส

   $16\times9=144\ \text{จัตุรัส}$

   ตรวจกับพื้นที่: โปสเตอร์มีพื้นที่ $64\times36=2304$ ตร.ซม. และจัตุรัสแต่ละชิ้นมีพื้นที่ $4\times4=16$ ตร.ซม. และ $2304\div16=144$ ✓ การนับสองแบบต้องตรงกัน เพราะชิ้นส่วนปูคลุมแผ่นได้พอดี

5. 5

   อธิบายว่าทำไมจัตุรัสใหญ่ที่สุดจึงให้จำนวนชิ้น น้อยที่สุด จำนวนชิ้นเท่ากับ $\dfrac{2304}{s^2}$ ซึ่งลดลงเมื่อ $s$ โตขึ้น การทำให้ความยาวด้านมากที่สุดกับการทำให้จำนวนชิ้นน้อยที่สุดจึงเป็นคำถามเดียวกันที่ถามสองครั้ง คำถามทั้งสองส่วนของโจทย์ตอบได้ด้วยจำนวนเดียวคือ $\gcd(64,36)=4$ ตัวหารร่วมที่เล็กกว่านี้ก็ใช้ได้แต่เปลืองรอยตัด เช่น $s=2$ ให้ $576$ จัตุรัส และ $s=1$ ให้ $2304$ จัตุรัส