เศษส่วน 2/3, 5/8, 8/13, 11/18, ... เรียงตามแบบรูปที่แน่นอน พจน์หนึ่งในลำดับต่อมาคือ X/253 และอีกพจน์หนึ่งคือ 1499/Y จงหาตัวหารร่วมมากของ X และ Y

Step-by-step solution

1. 1

   มองตัวเศษกับตัวส่วนเป็นลำดับสองลำดับที่แยกจากกัน ทั้งสองไม่เกี่ยวข้องกัน จึงบรรยายแยกกันได้ ตัวเศษ $2,5,8,11,\dots$ เพิ่มขึ้นครั้งละ $3$ ส่วนตัวส่วน $3,8,13,18,\dots$ เพิ่มขึ้นครั้งละ $5$ ทั้งคู่เป็นลำดับเลขคณิต

2. 2

   เขียนสูตรพจน์ที่ $n$ ของแต่ละลำดับ ใช้ $\text{พจน์แรก}+d(n-1)$

   $\text{ตัวเศษ}=2+3(n-1)=3n-1,\qquad \text{ตัวส่วน}=3+5(n-1)=5n-2$

   ลองตรวจที่ $n=4$: $3(4)-1=11$ และ $5(4)-2=18$ ตรงกับ $\tfrac{11}{18}$

3. 3

   หาพจน์ที่มีตัวส่วนเป็น 253 แก้ $5n-2=253$ ได้ $n=51$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม พจน์นี้จึงอยู่ในแบบรูปจริง ตัวเศษของมันคือ

   $X=3(51)-1=152$

4. 4

   หาพจน์ที่มีตัวเศษเป็น 1499 แก้ $3n-1=1499$ ได้ $n=500$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มอีกเช่นกัน ตัวส่วนของมันคือ

   $Y=5(500)-2=2498$

5. 5

   แยกตัวประกอบทั้งสองจำนวนก่อนหา ห.ร.ม. การเดาไม่ปลอดภัยเมื่อเจอจำนวนสี่หลัก

   $152=2^3\times 19,\qquad 2498=2\times 1249$

   และ $1249$ เป็นจำนวนเฉพาะ (หารด้วยจำนวนเฉพาะใด ๆ ที่ไม่เกิน $35$ ไม่ลงตัวเลย)

6. 6

   หยิบส่วนที่ร่วมกัน จำนวนเฉพาะที่ใช้ร่วมกันมีเพียง $2$ ซึ่งปรากฏหนึ่งครั้งใน $2498$ ดังนั้น

   $\gcd(152,\,2498)=2$

   ขั้นตอนวิธียุคลิดให้ผลตรงกัน: $2498=16\cdot152+66$, $152=2\cdot66+20$, $66=3\cdot20+6$, $20=3\cdot6+2$, $6=3\cdot2+0$