นำจำนวนสี่หลักที่หารด้วย 5 ลงตัวมาเขียนกลับหลัก ได้จำนวนสี่หลักอีกจำนวนหนึ่ง เมื่อนำจำนวนแรกลบด้วยจำนวนที่สองได้ 1458 จงหาจำนวนเดิมหนึ่งจำนวน

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนจำนวนทั้งสองในรูปกระจายตามค่าประจำหลัก ให้เลขโดดเป็น $a,b,c,d$ จำนวนเดิมคือ

   $N=1000a+100b+10c+d,\qquad a\neq 0$

   และจำนวนที่กลับหลักคือ

   $N'=1000d+100c+10b+a$

   การเปลี่ยนข้อความเรื่องเลขโดดให้เป็นสมการเลขคณิตคือเคล็ดลับทั้งหมดของโจทย์นี้ ที่เหลือหลังจากนี้เป็นงานตามระบบ

2. 2

   บังคับหลักสุดท้ายด้วยเงื่อนไขทั้งสองข้อ การหารด้วย $5$ ลงตัวทำให้ $d\in\{0,5\}$ แต่จำนวนที่กลับหลักต้องเป็นจำนวนสี่หลักด้วย เลขโดดนำของมันคือ $d$ จึงเป็น $0$ ไม่ได้ ดังนั้น

   $d=5$

   ขั้นนี้คือขั้นที่ตัดสินโจทย์ เพราะถ้า $d=0$ การกลับหลักจะยุบเหลือไม่เกินสามหลัก

3. 3

   ลบกันแล้วจัดรูป

   $N-N'=1000a+100b+10c+5-(5000+100c+10b+a)$

   $=999a+90b-90c-4995$

   ให้เท่ากับ $1458$ แล้วย้ายค่าคงตัวข้ามไป

   $999a+90(b-c)=1458+4995=6453$

4. 4

   ค้นหาบนเลขโดดตัวเดียวคือ $a$ โดยยอมให้ $b-c$ ติดลบได้ พจน์ $90(b-c)$ มีค่าได้ตั้งแต่ $-810$ ถึง $810$ ดังนั้น $999a$ ต้องอยู่ห่างจาก $6453$ ไม่เกิน $810$ มีเพียง $a=7$ ที่ผ่าน ($999\cdot 7=6993$ ส่วน $999\cdot 6=5994$ ขาดไป $459$ ซึ่งไม่เป็นพหุคูณของ $90$) เมื่อ $a=7$

   $6993+90(b-c)=6453\quad\Longrightarrow\quad 90(b-c)=-540\quad\Longrightarrow\quad b-c=-6$

   สังเกตว่า $b-c$ ตรงนี้เป็น ค่าลบ การลองเฉพาะผลต่างที่ไม่ติดลบคือกับดักที่ทำให้โจทย์นี้ดูเหมือนแก้ไม่ได้

5. 5

   เขียนรายการจำนวนแล้วเลือกมาหนึ่งจำนวน เลขโดดที่ให้ $b-c=-6$ คือ $(b,c)\in\{(0,6),(1,7),(2,8),(3,9)\}$ ได้จำนวน

   $7065,\quad 7175,\quad 7285,\quad 7395$

   จำนวนใดก็ตอบโจทย์ได้ ตัวที่น้อยที่สุดคือ

   $\boxed{7065}$

6. 6

   ตรวจคำตอบ $7065$ ลงท้ายด้วย $5$ จึงหารด้วย $5$ ลงตัว กลับหลักได้จำนวนสี่หลัก $5607$ และ

   $7065-5607=1458$

   ตรงตามที่โจทย์ต้องการ ถ้าใช้วิธีเดียวกันกับข้างขวาที่เป็น $1359$ จะได้ $999a+90(b-c)=6354$ นั่นคือ $a=6$ และ $b-c=4$ ซึ่งคำตอบที่น้อยที่สุดคือ $6405$