อธิบายอนุกรมเทย์เลอร์: การประมาณฟังก์ชันใด ๆ ด้วยพหุนาม

ถ้าอนุพันธ์จับความชันของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง อนุกรมเทย์เลอร์จะจับทั้งฟังก์ชัน ณ จุดนั้น — โดยซ้อนอนุพันธ์จำนวนอนันต์เข้าด้วยกัน มันคือสะพานเชื่อมระหว่างแคลคูลัสกับการคำนวณเชิงตัวเลข: ทุกครั้งที่เครื่องคิดเลขของคุณคำนวณ $\sin(0.4)$ มันกำลังบวกอนุกรมเทย์เลอร์อยู่เบื้องหลัง

สูตรอนุกรมเทย์เลอร์

อนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน $f$ ที่มีจุดศูนย์กลางที่ $x = a$ คือ:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

นั่นคือ: หาค่า $f$, $f'$, $f''$, $f'''$, … ที่จุด $a$ จากนั้นสร้างพหุนามที่มีพจน์ที่ $n$ เท่ากับ $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

เมื่อ $a = 0$ อนุกรมนี้เรียกว่า อนุกรมแมคลอริน — กรณีที่พบบ่อยที่สุด

ทำไมมันถึงใช้ได้?

รอบ ๆ จุด $a$ ฟังก์ชันจะดูเหมือนเส้นสัมผัสของมัน (พจน์ $n=1$) จากนั้นเหมือนพาราโบลาที่รวมความโค้งเข้าไป ($n=2$) แล้วเป็นฟังก์ชันกำลังสาม และต่อ ๆ ไป อนุพันธ์ที่สูงขึ้นแต่ละอันจะจับข้อมูลรูปร่างที่ละเอียดยิ่งขึ้น บวกกันไปจำนวนอนันต์พจน์ แล้ว (สำหรับฟังก์ชันที่ "ดี") คุณจะได้ $f$ คืนมาอย่างแม่นยำ

การกระจายแมคลอรินคลาสสิกสามแบบ

จำสามแบบนี้ให้ขึ้นใจ — มันโผล่มาตลอดเวลา:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

อนุกรมของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีกำลังทุกกำลัง; ไซน์มีเฉพาะกำลังคี่; โคไซน์มีเฉพาะกำลังคู่ ความสมมาตรนี้เป็นผลโดยตรงจากการที่อนุพันธ์ตัวใดเป็นศูนย์ที่ $0$

ตัวอย่างที่ทำให้ดู: สร้าง $\sin x$ ขึ้นมาตั้งแต่ต้น

ให้ $f(x) = \sin x$ ที่ $a = 0$:

• $f(0) = 0$
• $f'(0) = \cos(0) = 1$
• $f''(0) = -\sin(0) = 0$
• $f'''(0) = -\cos(0) = -1$
• $f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
• รูปแบบนี้ซ้ำทุก ๆ 4 อนุพันธ์

แทนค่าลงในสูตรเทย์เลอร์:
$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1)\frac{x^3}{3!} + 0 + \frac{x^5}{5!} - \dots$
ซึ่งลดรูปเป็น $x - x^3/6 + x^5/120 - \dots$ เหมือนกับสูตรด้านบน

การประมาณในทางปฏิบัติ

สำหรับ $x$ ที่มีค่าน้อยใกล้ 0 แม้แต่ไม่กี่พจน์แรกก็แม่นยำมาก:

• $\sin(0.1) \approx 0.1 - 0.001/6 \approx 0.09983$ (ค่าจริง: $0.0998334\dots$)

นี่คือเหตุผลว่าทำไมการประมาณมุมเล็ก $\sin x \approx x$ จึงใช้ได้: พจน์ถัดไปมีค่าเล็กจิ๋วเมื่อ $x$ มีค่าน้อย

การลู่เข้า — เมื่อใดมันจึงเท่ากับ $f$ จริง ๆ?

อนุกรมเทย์เลอร์มีรัศมีการลู่เข้า $R$ สำหรับ $|x - a| < R$ อนุกรมจะเท่ากับ $f(x)$; นอกช่วงนั้นอนุกรมจะลู่ออก ฟังก์ชันบางตัว ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$) มี $R = \infty$ ฟังก์ชันอื่น เช่น $1/(1-x)$ ที่มีจุดศูนย์กลางที่ 0 มี $R = 1$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• ลืมตัวส่วนแฟกทอเรียล $n!$
• สับสนการกระจายอนุกรม — ไซน์มีกำลังคี่ โคไซน์มีกำลังคู่ $e^x$ มีทุกกำลัง
• สมมติว่าลู่เข้า โดยไม่ตรวจสอบรัศมี

ลองใช้กับตัวแก้อนุกรม AI

ใช้ เครื่องคิดเลขอนุกรม เพื่อคำนวณการกระจายเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันใด ๆ — มันจะแสดงขั้นตอนการหาอนุพันธ์ พหุนามที่ได้ และการตรวจสอบเชิงตัวเลขเพื่อความสมเหตุสมผล

ลิงก์ที่เกี่ยวข้อง:

• เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ — องค์ประกอบพื้นฐานของอนุกรมเทย์เลอร์ทุกตัว
• เครื่องคิดเลขลิมิต — การลู่เข้าเป็นคำถามเรื่องลิมิต
• เครื่องคิดเลขปริพันธ์ — อนุกรมเทย์เลอร์สามารถหาปริพันธ์ทีละพจน์ได้