การแก้ระบบสมการหมายถึงการหาค่าที่สอดคล้องกับสมการ ทุกตัว พร้อมกัน เทคนิคมาตรฐานสามอย่างต่างก็มีจุดเด่นของตัวเอง — การรู้ว่าควรเลือกอันไหนช่วยประหยัดเวลาในการบ้านทุกชุด

วิธีที่ 1: การแทนค่า

ดีที่สุดเมื่อมีตัวแปรหนึ่งถูกแยกออกมาแล้ว (หรือแยกได้ง่าย)

ขั้นตอน:

แก้สมการหนึ่งสมการเพื่อหาตัวแปรหนึ่งตัว
แทนนิพจน์นั้นลงในอีกสมการ
แก้สมการตัวแปรเดียวที่ได้
แทนค่ากลับเพื่อหาตัวแปรที่สอง

ตัวอย่าง: $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$

$y$ ถูกแยกออกมาแล้ว แทนลงในสมการที่สอง: $3x + (2x + 1) = 11$ ดังนั้น $5x = 10$ , $x = 2$
แทนค่ากลับ: $y = 2(2) + 1 = 5$
คำตอบ: $(2, 5)$

วิธีที่ 2: การกำจัด (การรวมเชิงเส้น)

ดีที่สุดเมื่อสัมประสิทธิ์เรียงกันพอดีที่จะตัดตัวแปรหนึ่งตัวออกด้วยการบวก/ลบ

ขั้นตอน:

คูณสมการหนึ่งหรือทั้งสองสมการด้วยค่าคงตัว เพื่อให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งตัวเป็นจำนวนตรงข้ามกัน (เช่น $+3y$ และ $-3y$ )
บวกสมการเข้าด้วยกันเพื่อ กำจัด ตัวแปรนั้น
แก้สมการตัวแปรเดียวที่เหลือ
แทนค่ากลับ

ตัวอย่าง: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

$3y$ และ $-3y$ ตรงข้ามกันอยู่แล้ว บวกกัน: $6x = 18$ , $x = 3$
แทนค่ากลับ: $2(3) + 3y = 12$ , $3y = 6$ , $y = 2$
คำตอบ: $(3, 2)$

วิธีที่ 3: วิธีเมทริกซ์

สำหรับระบบที่ใหญ่ขึ้น (3 ตัวแปรขึ้นไป) หรือการแก้ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์:

กฎของคราเมอร์: $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ โดยที่ $A_i$ คือ $A$ ที่แทนคอลัมน์ที่ $i$ ด้วยค่าคงตัว ใช้ได้กับทุกขนาด แต่การคำนวณ $\det$ โตเร็วมาก
การกำจัดแบบเกาส์: ลดรูปแถวของเมทริกซ์เสริม $[A | \vec{b}]$ ให้อยู่ในรูปขั้นบันได แล้วแทนค่ากลับ เป็นวิธีมาตรฐานสำหรับระบบขนาดใหญ่
เมทริกซ์ผกผัน: $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$ ใช้ได้เฉพาะเมื่อ $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสและหาผกผันได้ (ดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์)

สำหรับระบบ 2×2 ที่แก้ด้วยมือ การแทนค่าหรือการกำจัดมักชนะเสมอ ส่วนวิธีเมทริกซ์เด่นเมื่อมี 3 ตัวแปรขึ้นไป

ความเป็นไปได้สามแบบของเซตคำตอบ

ทุกระบบเชิงเส้นจะมีอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้พอดี:

คำตอบเดียวที่ไม่ซ้ำ: เส้นตรง (หรือระนาบ) ตัดกันที่จุดเดียว
ไม่มีคำตอบ: สมการขัดแย้งกัน (เส้นขนานที่ไม่บรรจบกัน) — ระบบ ไม่สอดคล้องกัน
คำตอบไม่จำกัด: สมการอธิบายเส้น/ระนาบเดียวกัน — ระบบ ขึ้นต่อกัน

สัญญาณทางพีชคณิต:

" $x = 5$ " → คำตอบเดียว
" $0 = 7$ " → ข้อขัดแย้ง → ไม่มีคำตอบ
" $0 = 0$ " → สัจนิรันดร์ → คำตอบไม่จำกัด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ผิดเครื่องหมายตอนกระจาย ระหว่างการแทนค่า ใส่วงเล็บอย่างระมัดระวัง
ลืมคูณทั้งสองข้าง ระหว่างการปรับสเกลในการกำจัด
หยุดหลังจากหา $x$ ได้ ตัวแปรทั้งสองตัวสำคัญ อย่าลืมแทนค่ากลับ
ละเลยความไม่สอดคล้องกัน ถ้าคุณได้ $0 = 7$ นั่นคือคำตอบ ("ไม่มีคำตอบ") ไม่ใช่ข้อผิดพลาดในการคำนวณ

ลองด้วยตัวเอง

ใส่ระบบใด ๆ ลงใน เครื่องมือแก้ระบบสมการฟรี ของเรา — AI จะเลือกการแทนค่า/การกำจัดโดยอัตโนมัติและแสดงทุกขั้นตอน

เนื้อหาที่เกี่ยวข้อง:

สามวิธีในการแก้ระบบสมการ