การทำกำลังสองสมบูรณ์: คำอธิบายที่ในที่สุดก็เข้าใจ

การทำกำลังสองสมบูรณ์เป็นหนึ่งในเทคนิคพีชคณิตที่นักเรียนเห็นครั้งเดียวแล้วลืม แต่มันเป็นเทคนิคเดียวที่อยู่เบื้องหลัง สูตรกำลังสอง รูปจุดยอด ของพาราโบลา และ ปริพันธ์แคลคูลัส ที่พบบ่อยหลายตัว เมื่อคุณซึมซับทริกนี้แล้ว คุณจะมีเครื่องมือที่ใช้ได้ตลอดไป

แนวคิดหลัก

ทวินามยกกำลังสอง $(x + h)^2$ กระจายเป็น $x^2 + 2hx + h^2$ การจะเปลี่ยนนิพจน์ใด ๆ $x^2 + bx$ ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ คุณต้องบวก $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ นั่นคือทั้งหมดของทริกนี้

ตัวอย่างที่แก้ไว้: กรณีสัมประสิทธิ์นำเป็น 1

ทำกำลังสองสมบูรณ์ของ $x^2 + 6x + 5$

1. เอาครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์เชิงเส้น: $b/2 = 3$
2. ยกกำลังสอง: $9$
3. เขียนใหม่: $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

เราบวก 9 และลบ 9 — สุทธิเป็นศูนย์ แต่สามพจน์แรกตอนนี้กลายเป็นกำลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่างที่แก้ไว้: กรณีสัมประสิทธิ์นำไม่เป็น 1

ทำกำลังสองสมบูรณ์ของ $2x^2 + 12x + 7$

1. ดึง 2 ออกเป็นตัวประกอบจากสองพจน์แรก: $2(x^2 + 6x) + 7$
2. ภายในวงเล็บ ทำกำลังสองสมบูรณ์: $x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$
3. แทนกลับ: $2((x+3)^2 - 9) + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$

การประยุกต์ 1: การแก้สมการกำลังสอง

ในการแก้ $x^2 + 6x + 5 = 0$:
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$

ได้คำตอบเดียวกันกับสูตรกำลังสอง โดยอนุมานมาตั้งแต่ต้น

การประยุกต์ 2: จุดยอดของพาราโบลา

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ อยู่ใน รูปจุดยอด $y = a(x - h)^2 + k$ จุดยอดอยู่ที่ $(h, k) = (-3, -11)$ เปิดขึ้นด้านบน (เนื่องจาก $a > 0$) คุณอ่านค่านี้ได้โดยไม่ต้องใช้แคลคูลัส

การประยุกต์ 3: การหาปริพันธ์

ปริพันธ์อย่าง $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ ต้านการโจมตีโดยตรง แต่ยอมจำนนต่อการทำกำลังสองสมบูรณ์: $x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$ จากนั้นแทน $u = x + 2$ เพื่อจดจำว่าเป็นอาร์กแทนเจนต์

ความผิดพลาดที่พบบ่อย

• ลืมลบ สิ่งที่คุณบวกเข้าไป — นิพจน์ต้องยังคงเท่ากับตัวมันเอง
• ไม่ดึงสัมประสิทธิ์นำออกเป็นตัวประกอบก่อน ในกรณีที่สัมประสิทธิ์นำไม่เป็น 1
• แบ่งครึ่งสัมประสิทธิ์ที่ผิดตัว — มันคือสัมประสิทธิ์ เชิงเส้น $b$ ไม่ใช่สัมประสิทธิ์นำ $a$

ลองใช้กับเครื่องมือแก้สมการกำลังสองด้วย AI

เครื่องมือแก้สมการกำลังสอง แสดงวิธีทำกำลังสองสมบูรณ์เคียงข้างกับสูตรกำลังสอง

แหล่งอ้างอิงที่เกี่ยวข้อง:

• เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบ — เส้นทางทางเลือกสู่รากของสมการ
• เครื่องมือแก้สมการ — ชุดเครื่องมือแก้สมการที่กว้างกว่า
• เครื่องคำนวณปริพันธ์ — สำหรับการประยุกต์ทางแคลคูลัสด้านบน