Калькулятор z-оценки

Z-оценка (также называемая стандартизованной оценкой) измеряет, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

где $x$ — исходное значение, $\mu$ — среднее генеральной совокупности, а $\sigma$ — стандартное отклонение генеральной совокупности.

Интерпретация:

• $z = 0$: значение равно среднему.
• $z = 1$: одно стандартное отклонение выше среднего.
• $z = -2$: два стандартных отклонения ниже среднего.
• $|z| > 2$ условно считается «необычным»; $|z| > 3$ — «экстремальным».

Зачем стандартизировать?

• Сравнимость: z-оценки позволяют сравнивать значения из разных распределений (например, $z = 1.5$ по математической части SAT и $z = 1.5$ по вербальной части означают одинаковую относительную результативность).
• Поиск вероятности: если базовое распределение приближённо нормально, $z$ напрямую отображается в вероятность через функцию распределения стандартного нормального $\Phi(z)$.
• Обнаружение выбросов: большое $|z|$ указывает на потенциальные выбросы.

Выборочная версия: при работе с выборочными данными замените $\mu$ на $\bar{x}$, а $\sigma$ на $s$:

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

Пошагово

1. Определите значение $x$, среднее $\mu$ (или $\bar{x}$) и стандартное отклонение $\sigma$ (или $s$).
2. Вычтите среднее: $x - \mu$.
3. Разделите на стандартное отклонение: $z = (x - \mu)/\sigma$.

Обратно: найти $x$ по $z$

$x = \mu + z\sigma$

Полезно, когда дан процентиль и требуется соответствующее исходное значение.

Вероятность через стандартное нормальное

Для нормально распределённой величины $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ стандартизованная величина $Z = (X - \mu)/\sigma$ следует стандартному нормальному $N(0, 1)$.

Распространённые вероятности:

Симметрия: $P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$.

Правило трёх сигм (68-95-99.7)

Для нормального распределения:

• ~68% значений попадают в пределах $\pm 1\sigma$ от среднего.
• ~95% в пределах $\pm 2\sigma$.
• ~99,7% в пределах $\pm 3\sigma$.

Это основа для доверительных интервалов и многих быстрых оценок.

Критические значения z для доверительных интервалов

Это значения $z^*$, такие что $P(-z^* < Z < z^*) =$ уровень доверия.

• Неверный порядок: $z = (x - \mu)/\sigma$, а не $(\mu - x)/\sigma$. Постановка среднего вторым меняет знак.
• Использование дисперсии вместо стандартного отклонения: делите на $\sigma$, а не $\sigma^2$. Значение «на одну дисперсию дальше» бессмысленно — нужно одно стандартное отклонение.
• Выборка против совокупности: с выборочными данными используйте $\bar{x}$ и $s$. С известными параметрами используйте $\mu$ и $\sigma$. Их смешение завышает/занижает z-оценки.
• Предполагают нормальность без проверки: z-оценки можно вычислить для любого распределения, но поиск вероятности $\Phi(z)$ применим, только если базовое распределение нормально (или приближённо нормально по ЦПТ).
• Забывают знак: $z = -2$ означает «ниже среднего». Сообщение $z = 2$ искажает направление.
• Путают односторонние и двусторонние вероятности: $P(|Z| > 2)$ — это оба хвоста вместе ($\approx 0.0456$). $P(Z > 2)$ — один хвост ($\approx 0.0228$). Внимательно читайте вопрос.