В треугольнике ABC AB = AC, а D — середина стороны BC. Докажите, что AD ⊥ BC.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем данные и понимаем, что потребует слово «перпендикулярно». Дано $AB=AC$ (треугольник равнобедренный с основанием $BC$) и $BD=DC$ (по определению середины). Чтобы доказать $AD\perp BC$, достаточно показать, что один из углов $\angle ADB$ или $\angle ADC$ равен $90^\circ$. План такой: доказать, что эти два угла равны, а затем воспользоваться тем, что они лежат на одной прямой, — это вынуждает каждый из них быть прямым. Такой путь заметно чище, чем попытка вычислить угол напрямую.

2. 2

   Сравниваем треугольники $ABD$ и $ACD$. Отрезок $AD$ разбивает исходный треугольник на два меньших. Сопоставляем их элементы:

   $AB=AC\quad(\text{по условию})$

   $BD=DC\quad(D\text{ — середина }BC)$

   $AD=AD\quad(\text{общая сторона})$

   Совпала каждая пара, то есть три стороны против трёх сторон.

3. 3

   Делаем вывод о равенстве по трём сторонам. По признаку «сторона — сторона — сторона»

   $\triangle ABD\cong\triangle ACD$

   Именно этот признак здесь уместен: все три данных факта — о длинах, никаких сведений об углах не дано, поэтому признаки по двум сторонам и углу между ними или по стороне и двум углам потребовали бы недоказанного допущения.

4. 4

   Переносим равенство на углы при вершине $D$. В равных треугольниках соответственные элементы равны, а углу $\angle ADB$ первого треугольника соответствует угол $\angle ADC$ второго:

   $\angle ADB=\angle ADC$

5. 5

   Используем прямую $BDC$, чтобы получить ровно $90^\circ$. Так как $D$ лежит между $B$ и $C$ на отрезке $BC$, эти два угла смежные, а значит в сумме дают развёрнутый:

   $\angle ADB+\angle ADC=180^\circ$

   Подставляя равенство из предыдущего шага, получаем $2\angle ADB=180^\circ$, откуда

   $\angle ADB=\angle ADC=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad AD\perp BC$

   Нужны были оба факта: из одного лишь равенства углов $90^\circ$ не следует, из одной лишь смежности — тоже. Доказательство закрывает именно их сочетание.

6. 6

   Проверяем координатным способом. Расположим основание симметрично: $B=(-b,0)$, $C=(b,0)$, тогда серединой будет $D=(0,0)$. Условие $AB=AC$ заставляет точку $A$ быть равноудалённой от $B$ и $C$, то есть $A=(0,h)$ при некотором $h\neq0$. Тогда $\vec{DA}=(0,h)$ и $\vec{DC}=(b,0)$, а их скалярное произведение равно

   $\vec{DA}\cdot\vec{DC}=0\cdot b+h\cdot0=0$

   Нулевое скалярное произведение означает перпендикулярность отрезков, что подтверждает синтетическое доказательство. Попутно та же картинка показывает: $AD$ одновременно медиана, высота, биссектриса угла $A$ и серединный перпендикуляр к $BC$ — все четыре линии совпадают ровно тогда, когда треугольник равнобедренный.