Два углепластиковых ламината изготовлены из одного и того же волокна с E11 = 132,4 ГПа. Ламинат 1 состоит из 8 слоёв с укладкой 0/−45/+45/0/0/+45/−45/0, ламинат 2 — из 10 слоёв с укладкой +45/−45/+45/−45/0/0/−45/+45/−45/+45. Насколько по правилу 10 процентов Харт-Смита жёсткость ламината 1 превышает жёсткость ламината 2?

Step-by-step solution

1. 1

   Сформулируем правило и один раз посчитаем вклад внеосевого слоя. По правилу $10\%$ Харт-Смита слой с ориентацией $0^\circ$ вносит полное значение $E_{11}$, а каждый внеосевой слой — лишь $10\%$ от него. Поскольку оба ламината сделаны из одного волокна,

   $0.10E_{11}=0.10\times 132.4=13.24\ \text{ГПа}$

   на каждый внеосевой слой, и это одинаково для обоих ламинатов.

2. 2

   Подсчитаем слои ламината 1. В последовательности $0/-45/+45/0/0/+45/-45/0$ имеется $8$ слоёв, из которых ориентацию $0^\circ$ имеют позиции $1,4,5,8$ — то есть $4$ осевых и $4$ внеосевых слоя.

3. 3

   Усредним по 8 слоям ламината 1.

   $E_{1}=\frac{4(132.4)+4(13.24)}{8}=\frac{529.6+52.96}{8}=\frac{582.56}{8}=72.82\ \text{ГПа}.$

4. 4

   Подсчитаем и усредним для ламината 2. В последовательности $+45/-45/+45/-45/0/0/-45/+45/-45/+45$ имеется $10$ слоёв, из которых только позиции $5$ и $6$ имеют ориентацию $0^\circ$ — то есть $2$ осевых и $8$ внеосевых слоёв:

   $E_{2}=\frac{2(132.4)+8(13.24)}{10}=\frac{264.8+105.92}{10}=\frac{370.72}{10}=37.072\ \text{ГПа}.$

5. 5

   Вычтем.

   $E_{1}-E_{2}=72.82-37.072=35.748\approx 35.75\ \text{ГПа}.$

   Здесь важно сохранить неокруглённое $37.072$: округление каждого ламината до $72.82$ и $37.07$ в данном случае тоже дало бы $35.75$, но на других числах такой приём способен сдвинуть второй знак после запятой.

6. 6

   Извлечём конструкторский вывод. У ламината 2 слоёв больше, а жёсткость едва достигает половины, потому что правило учитывает именно долю слоёв, ориентированных вдоль нагрузки, — $50\%$ против $20\%$. Добавление внеосевых слоёв увеличивает толщину и массу, давая в направлении нагрузки лишь десятую часть своей жёсткости.