По обратному правилу смесей найдите поперечный модуль E22 композитного слоя с объёмной долей волокон 0,483, модулем волокна 282 ГПа и модулем матрицы 2,7 ГПа. Ответ дайте в гигапаскалях с точностью до одного знака после запятой.

Step-by-step solution

1. 1

   Понимаем, почему для поперечного случая формула другая. При нагружении вдоль волокон волокно и матрица деформируются одинаково, и их жёсткости складываются параллельно. При нагружении поперёк волокон обе фазы несут одно и то же напряжение, а деформации складываются, поэтому складываются податливости — это последовательное соединение:

   $\frac{1}{E_{22}}=\frac{V_f}{E_f}+\frac{V_m}{E_m}.$

2. 2

   Находим объёмную долю матрицы. Две фазы заполняют весь объём, поэтому

   $V_m=1-V_f=1-0.483=0.517.$

3. 3

   Считаем каждое слагаемое-податливость.

   $\frac{V_f}{E_f}=\frac{0.483}{282}=0.00171277\ \text{ГПа}^{-1},\qquad \frac{V_m}{E_m}=\frac{0.517}{2.7}=0.19148148\ \text{ГПа}^{-1}.$

   Обратите внимание, насколько они несоизмеримы: слагаемое матрицы больше в сотню с лишним раз, потому что в последовательном соединении всё определяет мягкая фаза.

4. 4

   Складываем и обращаем.

   $\frac{1}{E_{22}}=0.00171277+0.19148148=0.19319425\ \text{ГПа}^{-1},$
   $E_{22}=\frac{1}{0.19319425}=5.1761\ \text{ГПа}.$

5. 5

   Округляем до одного знака после запятой.

   $E_{22}\approx 5.2\ \text{ГПа}.$

6. 6

   Проверяем порядок величины. Ответ обязан лежать между модулями обеих фаз и заметно ближе к меньшему из них: цепь настолько жёсткая, насколько жёстко её самое мягкое звено. Значение около $282$ означало бы, что по ошибке применена «параллельная» (продольная) формула; здесь же $5.2$ — это примерно вдвое больше $E_m=2.7$, что в точности и предсказывает последовательная модель с долей матрицы около половины.