В однонаправленном углеродном волокне в эпоксидной матрице объёмная доля волокна 0,66, матрицы 0,34; модуль волокна 340 ГПа, матрицы 3,05 ГПа; прочность волокна 3648 МПа, матрицы 60 МПа. По правилу смесей найти продольную жёсткость и прочность при нагрузке вдоль волокон.

Step-by-step solution

1. 1

   Почему здесь можно использовать простое взвешенное среднее. Нагрузка вдоль волокон приводит к тому, что волокно и матрица испытывают одинаковое деформирование (допущение изострейна, или модель Фойгта). Тогда каждая фаза вносит вклад в силу пропорционально своей жёсткости и занимаемой доле площади сечения — именно это и отражает правило смесей:

   $E_{11}=V_fE_f+V_mE_m$

   Если бы ламинат нагружался поперёк волокон, эта формула была бы неверна — тогда применялось бы обратное правило смесей.

2. 2

   Проверим, что объёмные доли в сумме дают 1. $V_f+V_m=0.66+0.34=1.00$. Если бы сумма отличалась от 1, одну из долей пришлось бы пересчитать по массовым долям и плотностям.

3. 3

   Вычислим продольную жёсткость.

   $E_{11}=(0.66)(340)+(0.34)(3.05)=224.4+1.037=225.437\ \text{ГПа}$

   Округляя до одной десятой, получаем $E_{11}=225.4\ \text{ГПа}$. Обратите внимание: вклад смолы — около $1$ ГПа из $225$, то есть менее $0{,}5\%$. В направлении, доминируемом волокном, матрица служит почти исключительно «клеем».

4. 4

   Вычислим продольную прочность аналогично. По тем же соображениям изострейна:

   $\sigma_{11}=V_f\sigma_f+V_m\sigma_m=(0.66)(3648)+(0.34)(60)=2407.68+20.4=2428.08\ \text{МПа}$

   Значит, $\sigma_{11}=2428.1\ \text{МПа}$.

5. 5

   Проверим порядок величин и размерности. Оба ответа должны лежать между значениями для матрицы и волокна, что и выполняется ($3.05<225.4<340$ ГПа; $60<2428.1<3648$ МПа), причём ближе к волокну, так как $V_f$ велик. Следует внимательно следить за размерностями: ГПа складываются только с ГПа, МПа — с МПа; смешение их на $1000$ — классическая ошибка в подобных расчётах.