Машина проходит первую половину пути с постоянной скоростью 50 км/ч, вторую — с 60 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём маршруте.

Step-by-step solution

1. 1

   Начнём с определения, а не с интуиции. Средняя скорость всегда вычисляется по формуле

   $v_{\text{avg}}=\frac{\text{всё расстояние}}{\text{всё время}}$

   Это не среднее арифметическое двух скоростей. Если просто усреднить $50$ и $60$ и получить $55$, то это подразумевает, что машина одинаковое время едет с каждой скоростью. Здесь же пройдены равные расстояния — а на медленном участке тратится больше времени, что и уменьшает среднюю скорость.

2. 2

   Обозначим расстояние, чтобы оно сократилось. Пусть каждая половина пути равна $d$, тогда весь путь — $2d$. Время на каждом участке равно расстояние, делённое на скорость:

   $t_1=\frac{d}{50},\qquad t_2=\frac{d}{60}$

3. 3

   Сложим времена, приведя к общему знаменателю.

   $t_1+t_2=\frac{d}{50}+\frac{d}{60}=d\left(\frac{6}{300}+\frac{5}{300}\right)=\frac{11d}{300}$

4. 4

   Разделим весь путь на всё время.

   $v_{\text{avg}}=\frac{2d}{\dfrac{11d}{300}}=2d\cdot\frac{300}{11d}=\frac{600}{11}\approx54.5\ \text{км/ч}$

   Неизвестное $d$ сокращается, поэтому ответ не зависит от длины дороги.

5. 5

   Выведем общую формулу. Если повторить выкладки с буквами, получится гармоническое среднее двух скоростей:

   $v_{\text{avg}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}=\frac{2(50)(60)}{50+60}=\frac{6000}{110}=54.\overline{54}\ \text{км/ч}$

   Гармоническое среднее всегда меньше арифметического, если скорости не равны, так что результат чуть меньше $55$ — это встроенная проверка здравого смысла.

6. 6

   Проверим на конкретном числе. Пусть каждая половина по $300\ \text{км}$: первая занимает $6$ ч, вторая $5$ ч, всего $600\ \text{км}$ за $11$ ч, то есть $600/11\approx54.5\ \text{км/ч}$ — ровно как по формуле.