Вычислить t = (1/3,6) × интеграл от 0 до 7,07 (1,1 × 9,13) / (10,752 − 9,13 × 9,8 × 0,01 − (0,04985 × 0,2032 × v²)/21,15) dv.

Step-by-step solution

1. 1

   Свернём все константы до начала интегрирования. Подынтегральная функция выглядит сложной только из-за несведённых коэффициентов. Числитель:

   $1.1\times 9.13=10.043$

   Постоянная часть знаменателя:

   $10.752-9.13\times 9.8\times 0.01=10.752-0.89474=9.85726$

   Коэффициент при $v^{2}$:

   $\frac{0.04985\times 0.2032}{21.15}=\frac{0.01012952}{21.15}=4.78937\times 10^{-4}$

2. 2

   Перепишем выражение в стандартном виде.

   $t=\frac{10.043}{3.6}\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{9.85726-4.78937\times 10^{-4}v^{2}}$

   Вынесем коэффициент при $v^{2}$ из знаменателя, чтобы получить разность квадратов:

   $=\frac{10.043}{3.6\left(4.78937\times 10^{-4}\right)}\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{a^{2}-v^{2}},\qquad a=\sqrt{\frac{9.85726}{4.78937\times 10^{-4}}}=143.463$

3. 3

   Используем логарифмическую первообразную. Разложение на простейшие дроби даёт

   $\int\frac{dv}{a^{2}-v^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+v}{a-v}\right|+C$

   (эквивалентно $\tfrac1a\operatorname{artanh}\tfrac va$). Верхний предел $7.07$ намного меньше $a=143.463$, поэтому $a^{2}-v^{2}>0$ на всём промежутке, и подынтегральная функция нигде не обращается в бесконечность.

4. 4

   Вычислим определённый интеграл.

   $\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{a^{2}-v^{2}}=\frac{1}{2(143.463)}\ln\frac{143.463+7.07}{143.463-7.07}=\frac{\ln(1.10367)}{286.926}=3.4379\times 10^{-4}$

5. 5

   Умножим на вынесенный коэффициент.

   $\frac{10.043}{4.78937\times 10^{-4}}\times 3.4379\times 10^{-4}=20969\times 3.4379\times 10^{-4}=7.2091$

   значит, сам интеграл равен $7.2091$, и

   $t=\frac{7.2091}{3.6}=2.0025$

   $\boxed{t\approx 2.00\ \text{с}}$

6. 6

   Проверим оценкой с постоянным подынтегральным. Так как $v$ достигает только $7.07$, а $a=143.5$, слагаемое $v^{2}$ меняет знаменатель максимум на $4.79\times 10^{-4}(7.07)^{2}=0.0239$ из $9.857$ — примерно $0.24\%$. Если принять подынтегральную за постоянную $\tfrac{10.043}{9.85726}=1.01885$, получаем $t\approx\tfrac{1.01885\times 7.07}{3.6}=2.0009$ с, что отличается от точного $2.0025$ с менее чем на $0.1\%$ ✓.