Решить или проанализировать нелинейное дифференциальное уравнение x'' = -0.005 sin(x) и дать приближение для малых углов.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим уравнение и объясним, почему стандартные методы не работают. В виде $x''+0.005\sin x=0$ — это уравнение невозмущённого математического маятника с $\omega^2=0.005$. Оно нелинейно из-за $\sin x$, поэтому методы характеристических корней, неопределённых коэффициентов и преобразования Лапласа не применимы — элементарного аналитического решения не существует.

2. 2

   Умножим обе части на $x'$ для получения точной производной. Это стандартный приём для уравнений вида $x''=F(x)$:

   $x'x''=-0.005\,x'\sin x$

   Заметим, что обе части можно записать как производные по времени: $x'x''=\dfrac{d}{dt}\!\left(\tfrac12(x')^2\right)$, а поскольку $\dfrac{d}{dt}\cos x=-x'\sin x$, правая часть равна $0.005\dfrac{d}{dt}(\cos x)$.

3. 3

   Проинтегрируем для получения закона сохранения энергии. Объединяя и интегрируя по времени:

   $\frac{d}{dt}\left(\frac12(x')^2-0.005\cos x\right)=0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac12(x')^2-0.005\cos x=C$

   Этот первый интеграл — это полная энергия: $\tfrac12(x')^2$ — кинетическая, $-0.005\cos x$ — потенциальная. Таким образом, задача сводится к уравнению первого порядка.

4. 4

   Разделим переменные и получим эллиптический интеграл. Выразим $x'$:

   $(x')^2=2C+0.01\cos x\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dx}{\sqrt{2C+0.01\cos x}}=\pm\,dt$

   то есть

   $\int\frac{dx}{\sqrt{2C+0.01\cos x}}=\pm t+C_2$

   Этот интеграл не выражается через элементарные функции — это неполный эллиптический интеграл первого рода. Таким образом, точное решение записывается неявно.

5. 5

   Линеаризуем уравнение для малых углов. При $|x|\ll1$ можно заменить $\sin x\approx x$, и уравнение принимает вид

   $x''+0.005x=0$

   — это уравнение гармонического осциллятора. Его характеристическое уравнение $r^2+0.005=0$ даёт $r=\pm i\sqrt{0.005}$, отсюда

   $x(t)=C_1\cos\!\left(\sqrt{0.005}\,t\right)+C_2\sin\!\left(\sqrt{0.005}\,t\right)$

6. 6

   Вычислим физические параметры. Поскольку $0.005=\tfrac{1}{200}$, угловая частота

   $\omega=\sqrt{0.005}=\frac{1}{\sqrt{200}}=0.0707107\ \text{рад/ед. времени}$

   Период равен $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=88.858$. Для линейного случая период не зависит от амплитуды, а для настоящего нелинейного маятника период увеличивается с ростом амплитуды — это главное отличие, скрытое в приближении.

7. 7

   Проверим оба результата численно. Численное интегрирование исходного нелинейного уравнения методом Рунге—Кутты четвёртого порядка при $x(0)=1.2$, $x'(0)=0$ на двух миллионах шагов показывает, что энергия $\tfrac12(x')^2-0.005\cos x$ изменяется менее чем на $10^{-13}$ от начального значения $-0.00181179$ ✓, что подтверждает первый интеграл. А линейное решение с $C_1=0.9$, $C_2=-0.4$ удовлетворяет $x''=-0.005x$ при $t=3,\,20,\,-7$ с точностью до девяти знаков ✓.